tensor de esfuerzos

El Tensor de los Esfuerzos

y

los esfuerzos principales

Existen dos tipos principales de fuerzas en un contínuo:



1.
2.

Fuerzas de cuerpo. Actúan en cualquier parte del cuerpo y son
proporcionales al volúmen o a la masa.



Fuerzas de superficie. Si imaginamos que quitamos el material que está
afuera del volúmen V, encontramos que hay otras fuerzas que son
proporcionales acada elemento de superficie

El concepto de
Tracción

F = fuerza ejercida por el
material que se encuentra
afuera de V
n = normal al elemento de
superficie dS

La tracción sirve para cuantificar la fuerza de contacto (por u. de
área) con la que las partículas de un lado de una superficie actúan en
las partículas del otro lado. Ojo: En un sólido, T no necesariamente
es paralela a nLa tracción se define entonces como:

Notar que la tracción tiene la misma
orientación que la Fuerza y es función de
la normal que define la superficie

Ahora consideremos estos
casos

O sea que se tienen diferentes tracciones para el mismo punto
dependiendo del plano de interacción.
En general tenemos un número infinito de tracciones una para cada
posibilidad de plano. Entonces¿qué hacemos?

Necesitamos un mecanismo que nos permita obtener la tracción para
cualquier orientación de plano

Tracciones en las caras de un paralelepípedo orientado con los ejes coordenados.

(i) ;

Tj
i = normal al plano donde actúa T; j = componente de T

es el vector tracción actuando en la superficie cuya normal es positiva en la dirección êj

El tensor de esfuerzos σji

Lasfilas del tensor son los tres vectores de tracción.


esfuerzo entonces es la fuerza por unidad de área que el material afuera (hacia adonde apunta ň) de la superficie
El
ejerce en el material adentro.

Tracciones en las caras de un tetrahedro orientado con los ejes coordenados.

La tracción no necesariamente
es perpendicular (ortogonal) al
plano en que actúa.

Por medio del balancede tracciones en las caras de un tetrahedro orientado con tres caras ortogonales en las
direcciones de los ejes coordenados podemos encontrar la tracción en un plano con una inclinación arbitraria.
Notar que las tracciones en las caras ortogonales, compensan a la tracción en la cara inclinada.

El Tensor de esfuerzos está definido como:

Tener cuidado con la notación en los textos,
T(1) ≠T1
El tensor de esfuerzos es simétrico:

σij = σji

El Tensor de esfuerzos nos da la Tracción que actúa en cualquier superficie dentro del medio
que nos interesa.
Por ejemplo, los componentes de la Tracción en un elemento arbitrario de superficie dS cuya
normal n no es paralela a ningún eje, se encuentra multiplicando los elementos
correspondientes del tensor de esfuerzos por loscosenos directores de la normal al área donde
actúa y sumando el resultado.

Esto nos da cada componente de T , i = 1…3
Notar que es la transpuesta de σij,
pero como es simétrico, no
importa

Esfuerzos normales:



σ11, σ22, σ33



Esfuerzos de corte o cizalla:



σ12, σ21, σ13 , σ31, σ23, σ32 o también τ12, τ21, τ13 , τ31, τ23, τ32

Sobre la convención de signos en loscomponentes del tensor de esfuerzos
Esfuerzos normales:
Los que producen tensión
son positivos.
Esfuerzos de corte:
Si pensamos en un
elemento cúbico, la
dirección positiva de los
esfuerzos de corte
corresponde a la dirección
positiva del eje si el
esfuerzo de tensión que
actúa en la cara está en la
dirección positiva del eje
coordenado (cara
positiva). Si el esfuerzo de
tensión tiene unadirección opuesta a la
dirección positiva del eje
coordenado entonces la
dirección positiva del
esfuerzo de corte es
opuesta.

Sobre la convención de signos en los
componentes del tensor de esfuerzos
NOTA:
En el caso del círculo de
Mohr la convención puede
ser diferente.
La dirección positiva de
los esfuerzos de corte
corresponde a aquellos
esfuerzos que tienden a
crear una...