Tensores

Centro de enseñanza técnica industrial



Calculo Vectorial
Tensores: teoría y aplicaciones en la ingeniería mecánica industrial.



Índice:

* Un poco de historia …………………………………………………………………….. 1
* Teoría .……………………………………………………………………. 2
* Aplicaciones generales en Ing. Industrial …………………………………..… 5
* Aplicaciones especificas en Ing.Industrial ……………………………………. 8
* Conclusión …………………………………………………………………………………… 13
* Fuentes ……………………………………………………………………………………….. 14
* Agradecimiento …………………………………………………………………………… 15

Un poco de historia.

La palabra tensor proviene del latín “tensus”, participio pasado de tendere “estirar o extender”. El nombre se extendió porque la teoría de la elasticidad fue una de las primerasaplicaciones físicas donde se usaron tensores.
La notación fue desarrollada alrededor de 1890 por Gregorio Ricci-Curbastro bajo el nombre de ''geometría diferencial absoluta'', y lo hizo accesible a muchos matemáticos por la publicación del texto clásico de Tullio Levi-Civita el ''cálculo diferencial absoluto'' en 1900, cuyo idioma original fue el italiano. La aceptación más amplia del cálculo tensorial fuealcanzada con la introducción de la teoría de Einstein de la relatividad general, alrededor de 1915. La relatividad general se formula totalmente en el lenguaje de los tensores, que Einstein había aprendido de Levi-Civita, con gran dificultad.
En matemáticas, un tensor es cierta clase de entidad geométrica, que generaliza los conceptos de escalar, vector y operador lineal de una manera que seaindependiente de cualquier marco de referencia elegido. Los tensores son de gran importancia en física e ingeniería debido a que ayudan a representar, tanto hechos físicos como operaciones matemáticas demasiado grandes, de manera que se puedan resolver de manera más sencilla ya que pueden ser representados por arreglos de componentes.

Teoría.

La formulación básica de la Teoría General dela Relatividad por ejemplo, es una formulación matemática en notación tensorial, usando tensores, y es por ello que se vuelve necesario dar una idea de lo que son estos objetos matemáticos que llamamos tensores. A continuación se expondrá una definición intuitiva de los tensores de manera que se facilita su comprensión.

Aunque sin algo que le corresponda en el mundo físico real, podemos definirmatemáticamente en un plano de dos dimensiones un campo de números como el siguiente:

S = 0.2x + 0.1y

De este modo, al par (x,y) = (1,1) le corresponde el número S = 0.3, y así sucesivamente. Tabulando algunos números y poniéndolos en el plano tendríamos una distribución de números como la que se muestra a continuación:

A cada punto en el plano x-y le corresponde un número. Así, podemos“sembrar” un campo de números, de escalares, con lo que tenemos un campo de escalares o simplemente un campo escalar.

Una cantidad escalar Q, la cual no tiene dirección ni sentido y se representa con un simple número (como la masa m de un cuerpo o su temperatura T) es un tensor de orden cero. Esta cantidad, por ser un simple número, permanece igual ya sea que se le considere en un espacio de dosdimensiones, de tres dimensiones, o inclusive en un espacio que posea cualquier número de dimensiones.

Una cantidad vectorial V, a la cual se le puede asignar dirección y sentido (como la velocidad que lleva un avión moviéndose horizontalmente hacia la derecha a una velocidad de 30 metros por segundo y hacia arriba a 40 metros por segundo) y se representa como un par de números ordenados cuandose trata de un vector en dos dimensiones, un triplete de números ordenados cuando se trata del mismo vector trazado en tres dimensiones, un cuádruple ordenado de números cuando se trata de un vector trazado en un espacio cuatri-dimensional, etc. es un tensor de orden uno en un espacio n-dimensional.

Una cantidad tensorial Trs en donde empleamos dos sub-índices es una extensión de los...