Teor a de conjuntos

Teoría de conjuntos

Hipótesis del continuo. La colección de todos los conjuntos de números naturales P(N) tiene la llamadapotencia del continuo: tantos las funciones como (por ejemplo) puntos en una recta. Su estudio es uno de los principales problemas en la teoría de conjuntos.
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de losconjuntos:colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1
Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y juntocon la lógicapermite estudiar los fundamentos de aquélla. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de lateoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias,como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano einfluenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.

Teoría básica de conjuntos[editar]
Artículo principal: Conjunto
La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguajematemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos comonúmeros o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenecen al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de unelemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.
Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es unsubconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.
Ejemplos.
Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los númerosracionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:

El espacio tridimensional E3 es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E3. Las rectas r y planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E3, r ⊆ E3 y α ⊆ E3.
Álgebra de conjuntos[editar]
Artículo principal: Álgebra de conjuntos
Existenunas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:
Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunesde A y B.
Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.
Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos...