TEOR A DE NUMEROS COMPLEJOS

TEORÍA DE NUMEROS COMPLEJOS
Números imaginarios
Unidad imaginaria:
La unidad imaginaria es el número  y se designa por la letra i.



Números imaginarios:
Un número imaginario se denota por bi, donde:
b  es un número real
i  es la unidad imaginaria

Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.
x2 + 9 = 0



Potencias de la unidad imaginaria
i 0 =1
i 1 =  i
i 2 = −1
i 3 =  −i
i 4 = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

Ejemplos:



Números complejos
Números complejos en forma binómica:
Al número a + bi le llamamos númerocomplejo en forma binómica.
El número a es la parte real del número complejo.
El número b es la parte imaginaria del número complejo.
Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.
Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.
El conjunto de todos números complejos se designa por  .

Los números complejos a + bi y -a -bi sellaman opuestos.
Los números complejos z= a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Representación gráfica de números complejos:
Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.
El eje X se llama eje real.
El eje Y se llama eje imaginario.
El número complejo a + bi serepresenta:

1 Por el punto (a, b), que se llama su afijo.


2 Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).



Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X.
Los afijos de los números imaginarios se sitúan sobre el eje imaginario, Y.

Operaciones con números complejos
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partesimaginarias entre sí, respectivamente.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Ejemplo:
(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 =−1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Ejemplo:
(5 + 2 i) · (2 − 3 i) = 10 – 15i + 4i – 6i 2 = 10 − 11i – 6(−1) = 16 − 11i

División de números complejos
El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.


Ejemplo:


Números complejos en forma polar y trigonométrica
Módulo de un número complejo:
El módulo de un número complejo esel módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.




Argumento de un número complejo:
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).
Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de b/a prescindiendo de los signos, para ubicar el cuadrante en que se encuentra tendremos encuenta:


Nota: arctg = tan-1 = arcotangente
Expresión de un número complejo en forma polar:

z = rα
|z| = r   (r es el módulo)
arg(z) = α    (α es el argumento)

Ejemplos de conversión de la forma polar a la forma binómica:
 z = 2120º

Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonométrica:
z = rα = r (cos α + i sen α)



Realese imaginarios puros de módulo unidad:
z =10º = 1
z =1180º = −1
z =190º = i
z =1270º = −i




Ejemplos de pasar a la forma polar:
Ejemplo 1 Ejemplo 2

Ejemplo 3 Ejemplo 4

Ejemplo 5...