Teorame de fermat
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Publicado: 27 de octubre de 2013
En teoría de números, el último teorema de Fermat, o teorema de Fermat-Wiles, es uno de los teoremas más famosos en la historia de la matemática. Utilizando la notación moderna, se puede enunciar de la siguiente manera:
Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros x, y y z, tales que se cumpla la igualdad:
x^n + y^n = z^n \,
Pierre de Fermat
Nótese que nes un entero mayor que 2, y x, y, z, no nulos. Es decir, ni x=0, ni y=0, ni z=0.
El teorema fue conjeturado por Pierre de Fermat en 1637, pero no fue demostrado hasta 1995 por Andrew Wiles ayudado por el matemático Richard Taylor. La búsqueda de una demostración estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de la modularidad en el sigloXX.
Índice [ocultar]
1 Introducción histórica
2 Historia de la demostración del teorema
2.1 Pierre de Fermat
2.2 Leonhard Euler
2.3 Sophie Germain
2.4 Ernst Kummer y otros
2.5 Andrew Wiles
3 Véase también
4 Referencias
5 Bibliografía
6 Enlaces externos
Introducción histórica[editar · editar código]
La edición de 1670 de la Arithmetica de Diofanto incluye el comentario deFermat, conocido como "Último teorema" (Observatio Domini Petri de Fermat : Observación del señor Pedro de Fermat).
Pierre de Fermat escribió en el margen de su ejemplar de la Arithmetica de Diofanto, traducido por Claude Gaspar Bachet, en el problema que trata sobre escribir un número cuadrado como suma de dos cuadrados (es decir, encontrar ternas pitagóricas):
Cubum autem in duos cubos, autquadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismoexponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla.
Pierre de Fermat1
Historia de la demostración del teorema[editar · editar código]
Pierre de Fermat[editar · editar código]
El primer matemático que consiguió avanzar sobre este teorema fue el propio Fermat, que demostró el caso n=4 usando la técnica del descenso infinito, unavariante del principio de inducción.
Leonhard Euler[editar · editar código]
Leonhard Euler demostró el caso n = 3. El 4 de agosto de 1735 Euler escribió a Goldbach reclamando tener una demostración para el caso n = 3. En Álgebra (1770) se encontró una falacia en la demostración de Euler. Corregirla directamente era demasiado difícil, pero otros aportes anteriores de Euler permitían encontraruna solución correcta por medios más simples. Por esto se consideró que Euler había demostrado ese caso. Del análisis de la demostración fallida de Euler surgió la evidencia de que ciertos conjuntos de números complejos no se comportaban de igual manera que los enteros.
Sophie Germain[editar · editar código]
El siguiente mayor paso fue hecho por la matemática Sophie Germain. Un caso especialdice que si p y 2p + 1 son ambos primos, entonces la expresión de la conjetura de Fermat para la potencia p implica que uno de los x, y ó z es divisible por p. En consecuencia la conjetura se divide en dos casos:
Caso 1: Ninguno de los x, y, z es divisible por p.
Caso 2: Uno y sólo uno de x, y, z es divisible por p.
Sophie Germain probó el caso 1 para todo p menor que 100 y Adrien-MarieLegendre extendió sus métodos a todos los números menores que 197. Aquí se encontró que el caso 2 no estaba demostrado ni siquiera para p = 5, por lo que fue evidente que era en el caso 2 en el que había que concentrarse. Este caso también se dividía entre varios casos posibles.
Ernst Kummer y otros[editar · editar código]
Cronología2
Año Acontecimiento
1665 Muere Fermat sin dejar constancia de...
Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros x, y y z, tales que se cumpla la igualdad:
x^n + y^n = z^n \,
Pierre de Fermat
Nótese que nes un entero mayor que 2, y x, y, z, no nulos. Es decir, ni x=0, ni y=0, ni z=0.
El teorema fue conjeturado por Pierre de Fermat en 1637, pero no fue demostrado hasta 1995 por Andrew Wiles ayudado por el matemático Richard Taylor. La búsqueda de una demostración estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de la modularidad en el sigloXX.
Índice [ocultar]
1 Introducción histórica
2 Historia de la demostración del teorema
2.1 Pierre de Fermat
2.2 Leonhard Euler
2.3 Sophie Germain
2.4 Ernst Kummer y otros
2.5 Andrew Wiles
3 Véase también
4 Referencias
5 Bibliografía
6 Enlaces externos
Introducción histórica[editar · editar código]
La edición de 1670 de la Arithmetica de Diofanto incluye el comentario deFermat, conocido como "Último teorema" (Observatio Domini Petri de Fermat : Observación del señor Pedro de Fermat).
Pierre de Fermat escribió en el margen de su ejemplar de la Arithmetica de Diofanto, traducido por Claude Gaspar Bachet, en el problema que trata sobre escribir un número cuadrado como suma de dos cuadrados (es decir, encontrar ternas pitagóricas):
Cubum autem in duos cubos, autquadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismoexponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla.
Pierre de Fermat1
Historia de la demostración del teorema[editar · editar código]
Pierre de Fermat[editar · editar código]
El primer matemático que consiguió avanzar sobre este teorema fue el propio Fermat, que demostró el caso n=4 usando la técnica del descenso infinito, unavariante del principio de inducción.
Leonhard Euler[editar · editar código]
Leonhard Euler demostró el caso n = 3. El 4 de agosto de 1735 Euler escribió a Goldbach reclamando tener una demostración para el caso n = 3. En Álgebra (1770) se encontró una falacia en la demostración de Euler. Corregirla directamente era demasiado difícil, pero otros aportes anteriores de Euler permitían encontraruna solución correcta por medios más simples. Por esto se consideró que Euler había demostrado ese caso. Del análisis de la demostración fallida de Euler surgió la evidencia de que ciertos conjuntos de números complejos no se comportaban de igual manera que los enteros.
Sophie Germain[editar · editar código]
El siguiente mayor paso fue hecho por la matemática Sophie Germain. Un caso especialdice que si p y 2p + 1 son ambos primos, entonces la expresión de la conjetura de Fermat para la potencia p implica que uno de los x, y ó z es divisible por p. En consecuencia la conjetura se divide en dos casos:
Caso 1: Ninguno de los x, y, z es divisible por p.
Caso 2: Uno y sólo uno de x, y, z es divisible por p.
Sophie Germain probó el caso 1 para todo p menor que 100 y Adrien-MarieLegendre extendió sus métodos a todos los números menores que 197. Aquí se encontró que el caso 2 no estaba demostrado ni siquiera para p = 5, por lo que fue evidente que era en el caso 2 en el que había que concentrarse. Este caso también se dividía entre varios casos posibles.
Ernst Kummer y otros[editar · editar código]
Cronología2
Año Acontecimiento
1665 Muere Fermat sin dejar constancia de...
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