Teorema de Bayes y Factores de Certeza

TEOREMA DE BAYES

1. El portero titular de un equipo de fútbol para 8 de cada 10 penaltis, mientras que el suplente solo para 5. El portero suplente juega, por término medio, 15 minutos en cada partido (90 minutos).

a) Si en un partido se lanzan tres penaltis contra este equipo, ¿cuál es la probabilidad de que se paren los tres?
b) Si se lanza un penalti y no se para ¿cuál es laprobabilidad de que estuviera jugando el portero titular?

SOLUCIÓN:
Se consideran los sucesos:
P= el portero para un penalti
T= juega el portero titular
S= juega el portero suplente (S=Tc)
Con probabilidades:


a) la probabilidad de que se pare un penalti cualquiera es, utilizando el teorema de la probabilidad total, con los sucesos: T y S como sistema completo de sucesos:



Si se lanzantres penaltis, se consideran los sucesos:
Pi= El portero para el penalti i-ésimo
Mutuamente independientes, con probabilidades P(Pi)= 0.75, i=1,2,3. La probabilidad de que se paren los tres es:


b) para calcular P(T/Pc) se aplica el teorema de Bayes, con los sucesos T y S como sistema completo de sucesos:


2. En un colegio hay dos grupos de 25 alumnos de quinto curso y dos grupos de 20alumnos de sexto curso. El 50 % de los alumnos de quinto no tienen faltas de ortografía, porcentaje que sube a 70% en los alumnos de sexto. En un concurso de redacción entre alumnos de quinto y sexto se elige una redacción al azar.

a) ¿Qué probabilidad hay de que sea de un alumno de quinto?
b) Si tiene faltas de ortografía, ¿qué probabilidad hay de que sea de un alumno de quinto?

SOLUCIÓN:
Seconsideran los sucesos:
A= la redacción es de un alumno de quinto
B= la redacción es de un alumno de sexto (B=Ac)
F= la redacción tiene faltas de ortografía
Con probabilidades:


a)
b) Para calcular P(A/F) se aplica el teorema de Bayes, con los sucesos A y B como sistema completo de sucesos:



3. Tenemos cien urnas de tres tipos. El primer tipo contiene 8 bolas blancas y 2 negras;el segundo, 4 blancas y 6 negras y el tercero, 1 blanca y 9 negras. Se elige una urna al azar y se extrae de ella una bola, que resulta blanca. Se devuelve la bola a la urna y se repite el proceso, siendo ahora la bola extraída negra. Si sabemos que 16/39 es la posibilidad de que , siendo la bola blanca, proceda del primer tipo de urna y que 30/61 es la posibilidad de que, siendo la bola negra,proceda del segundo tipo de urna, calcúlese el numero de urnas de cada tipo.

SOLUCIÓN:
Sean x, y y z el numero de urnas de cada tipo y su composición, x(8b,2n), y(4b,6n), z(1b,9n)
Sabemos que x + y + z = 100
Aplicando l teorema de Bayes en cada extracción tenemos:



de las ecuaciones anteriores con incógnitas, x e y:


Recordando que x + y + z = 100, z = 30.
Hay 20 urnas del primertipo, 50 del segundo y 30 del tercero.

4. Se tienen n+1 cajas idénticas con n bolas cada caja. En la primera caja hay n bolas negras; en la segunda n–1 negras y 1 blanca, en la tercera n–2 negras y 2 blancas, y así sucesivamente, de manera que en la última caja hay n bolas blancas. Se toma una caja al azar y de ella se extraen tres bolas de una vez.
a) Calcular la probabilidad de que las tresbolas sean blancas.
b) Supuesto la extracción de que las tres bolas sean blancas, calcular el número de cajas que tiene que haber para que la probabilidad de que provengan las tres bolas blancas de las dos últimas cajas sea 2/3.

SOLUCIÓN:
a) Sean los sucesos:
⇒ n – k + 1 negras
Ck : caja k ( k = 1, 2, 3, ..., n + 1 )
⇒ k - 1 blancas
B3 : 3 bolas blancas
Al no especificarninguna ley a priori, tomemos P ( Ck ) = ( n + 1 ) –1 ∀ k ( ignorancia a priori ).
Comencemos por calcular las verosimilitudes asociadas. Para ello, es fácil observar, aplicando la teoría elemental de combinatoria, que:

Luego la probabilidad pedida es:

b) De igual modo, aplicando la fórmula de Bayes:


Sustituyendo tenemos:
Si k = n+1 ⇒ pn+1 = 4 / n+1
Si k = n ⇒ pn = 4 ( n-3 ) / n (n+1)...