Teorema de Bayes

Uno de los teoremas de mayor importancia y aplicabilidad en la teoría de probabilidades es el teorema de Bayes. Muchas disciplinas económicas, sociales y administrativas, sin mencionar lasciencias exactas tienen variados casos de aplicación de este teorema.
El teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 1763 que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidadde B dado A. Es decir que, por ejemplo, sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber -si se tiene algún dato más-, la probabilidad de tener gripesi se tiene un dolor de cabeza.
Sea {A1, A2,..., Ai,..., An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea Bun suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión:

Donde:
P(Ai) son las probabilidades apriori.
P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis A.
P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori.
Además, unido a la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula deBayes, también conocida como la Regla de Bayes:

El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Como observación, se tiene y su demostración resulta trivial.El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai.
A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona ciertainformación, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido.
Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indicacomo modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.


Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias
Gabriel Velasco Sotomayor
Piotr Marian wisniewski
Thomson