Teorema De Bayes

TEOREMA DE BAYES

Combina las leyes sumativa y multiplicativa de las probabilidades. Usualmente se comienzan los análisis con información a priori o iniciales para eventos específicos de interés; luego con base a otras fuentes como una muestra o informes, se obtiene nueva información adicional sobre los eventos. Con esa nueva información modificamos los valores de las probabilidades a priorimediante el cálculo de probabilidades actualizadas a las que llamamos probabilidades a posteriori.

En el caso de dos eventos se calcula de la siguiente manera:

P(A1|B) = P(A1) P(B|A1)_________
P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)

P(A2|B) = P(A2) P(B|A2)_________
P(A2) P(B|A2) + P(A1) P(B|A1)

Ejemplo:
1. Una empresa manufacturerarecibe embarques de piezas de dos proveedores diferentes:
A1 = Evento de que una parte de las piezas provenga del proveedor 1.
A2 = Evento de que una parte de las piezas provenga del proveedor 2.
Actualmente el 65% de las piezas que compra la empresa proviene del proveedor 1. El 35% proviene del proveedor 2.
P(A1) = 0.65
P(A2) = 0.35

La calidad de las piezas varía según el origen. Losdatos históricos indican que la calidad de las piezas difiere según sea el proveedor.

| % Piezas en buen estado | % Piezas dañadas |
Proveedor 1 | 98 | 2 |
Proveedor 2 | 95 | 5 |

B = Evento que una pieza es buena
M = Evento que una pieza es mala

P(B|A1) = 0.98
P(B|A2) = 0.95
P(M|A1) = 0.02
P(M|A2) = 0.05

a) Si la pieza es mala, ¿Cuál es la probabilidad de que provenga delproveedor 1?
b) Si la pieza es mala, ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del proveedor 2?

SOLUCIÓN:

a) P(A1|M) = P(A1) P(M|A1)_________
P(A1) P(M|A1) + P(A2) P(M|A2)

= (0.65) (0.02)________
(0.65) (0.02) + (0.35) (0.05)
= 0.4262

Si la pieza es mala, la probabilidad deque provenga del proveedor 1 es de 0.4262, lo que equivale a un 42.62 %.

b) P(A2|M) = P(A2) P(M|A2)_________
P(A2) P(M|A2) + P(A1) P(M|A1)

= (0.35) (0.05)________ = 0.5738
(0.35) (0.05) + (0.65) (0.02)
Si la pieza es mala, la probabilidad de que provenga del proveedor 2 es de 0.5738, lo queequivale a un 57.38%.

Ejemplo 2 (Tres eventos):
Una fábrica produce un artículo en tres diferentes máquinas. Del total de producción el 30% es producido en la máquina A, el 50% en la B y el 20% en la C. La probabilidad de que un artículo producido por una máquina específica sea de primera calidad, se muestra en la siguiente tabla:
MAQUINA | PROBABILIDAD |
A | 0.80 |
B | 0.70 |
C | 0.90 |Si se selecciona un artículo aleatoriamente de la línea de producción:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de primera calidad?
b) Si el artículo seleccionado es de primera calidad, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A?
Solución:
a) Sea A1= que sea producido en la máquina A
A2= que sea producido en la máquina B
A3= que sea producido en la máquina CB= que sea de primera calidad
B’ = que no sea de primera calidad

Entonces la probabilidad de que sea de primera calidad es igual a:
Existe una probabilidad del 77% de que el artículo seleccionado sea de primera calidad.
b)

Definición de probabilidad

DEFINICIÓN CLÁSICA, TEORÍA FRECUENTISTA Y SUBJETIVA DE PROBABILIDAD.

J.J. Bernoulli fue el primero en estudiar este tema enforma sistemática con un enfoque científico. Observando los resultados del lanzamiento de una moneda un número grande de veces, notó que el número de caras y secas tendía a igualarse. Es decir, que la frecuencia relativa de la obtención de caras se acercaba más al número de secas, cuanto mayor era el número de lanzamientos. O bien, ambas frecuencias relativas se parecían cada vez más a 0,5. Otro...