Teorema De Bayes

TEOREMA DE BAYES

1. Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.
a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.
b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad dehaber sido producida por la máquina B.
c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?


Solución:
Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.
a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedadde la probabilidad total,
P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) =
= 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038
b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

a. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa esA
2. Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?
Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades deocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.
La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

3 Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?Llamemos R al suceso "sacar bola roja" y N al suceso "sacar bola negra" de una urna.
La probabilidad de cualquiera de las urnas es 1/3, las tres son equiprobables.
Haz el diagrama de árbol para ver las probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada urna.
El ejercicio en concreto te pide p(A | R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

4. Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30%y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%
1. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.
2. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la B.
3. ¿Qué máquina tiene la mayorprobabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?
4. Sea D el suceso "la pieza es defectuosa" y sea N el suceso "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.
5. 1. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, p(D), por la propiedad de la probabilidad total,p(D) = p(A) · p(D|A) + p(B) · p(D|B) +p(C) · p(D|C) = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038
6.
7. 2. Debemos calcular p(B|D). Es sencillo aplicando el teorema de Bayes,
8.
9. 3. Calculamos p(A|D) y p(C|D), comparándolas con el valor de p(B|D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:
10.
11. De donde deducimos que la máquina con mayor probabilidad de haber producido la piezadefectuosa es A.
5. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

6. La probabilidad de que haya...