Teorema De Gram Schmidt

Proyecciones Ortogonales: Proceso de Gram-Schmidt

Introducción
En esta lectura veremos el proceso para ortogonalizar un conjunto de vectores. Este proceso es conocido como el proceso deGram-Schmidt.

Ortogonalidad a un espacio:
Teorema
Sea V un espacio vectorial con producto interno •. El vector u es ortogonal a todo vector de
W = Gen{v1, . . . , vk} si y s´olo si
u • vi = 0, paratodo i = 1, 2 . . . , k
Demostración:

Si u es ortogonal a todo W, entonces es ortogonal a todo elemento de W. Los elementos vi son también elementos de W. Por tanto, para cada i = 1, 2, . . . , k secumple u●vi = 0.
Supongamos que para cada i = 1, 2, . . . , k se cumpla u ●vi = 0, y sea v un elemento cualquiera de W. Como
W est´a generado por los vi, deben existir ci tales que:
v = c1 v1+••••+ ck vk
Haciendo el producto interno con u:
u • v = c1 u • v1 +•••+ ck u • vk
= c1 • 0 + •••+ ck • 0 = 0
por tanto, u es ortogonal a todo elemento de W.
Proyecciónortogonal:
Nuestro principal resultado referente a ortoginalidad es el siguiente.

Teorema:
Suponga que V es un espacio vectorial con producto interno. Y sea b un vector de V y W unsubespacio lineal deV . Si W posee una base ortogonal, entonces
1. Existe z ∈ W tal que b − z ⊥ W.
2. El vector z que cumple lo anterior es ´unico.
3. Para todo y de W: d(z, b) ≤ d(y, b).
Demostración:
Sea β={a1,a2,…,ak} una base ortogonal para w. definamos
Z=b●a1a1●a1a1+b●a2a2●a2a2+••••+ b●akak●akak
Por conveniencia representaremos
fi=b●aiai●ai
Veamos que z cumple el requisito 1. De acuerdo al resultadoprevio debemos probar que (b − z) ●ai = 0 para cada i = 1, 2, . . . , k. Si utilizamos las propiedades del producto interno y la ortogonalidad de β tenemos:

Por lo anterior y el teorema previoconcluimos que b − z ⊥ W.
Supongamos que el vector y de W tambi´en cumple la condici´on 1. Es decir, que b − y es ortogonal a todo vector de W. Para probar que y = z, veamos que la magnitud de y...