teorema de la energia de bernoulli

TEOREMA DE LA ENERGIA DE BERNOULLI
El teorema de Bernoulli demuestra que estas variables no pueden modificarse independientemente una de la otra, sino que están determinadas por la energía mecánica del sistema.
Supongamos que un fluido ideal circula por una cañería como la que muestra la figura. Concentremos nuestra atención en una pequeña porción de fluido V (coloreada con celeste): al cabode cierto intervalo de tiempo Dt (delta t) , el fluido ocupará una nueva posición (coloreada con rojo) dentro de la Al cañería. ¿Cuál es la fuerza “exterior” a la  porción V que la impulsa por la cañería?
Sobre el extremo inferior de esa porción, el fluido “que viene de atrás” ejerce una fuerza que, en términos de la presiónp1, puede expresarse corno p1 . A1, y está aplicada en el sentido delflujo. Análogamente, en el extremo superior, el fluido “que está adelante” ejerce una fuerza sobre la porción V que puede expresarse como P2 . A2, y está aplicada en sentido contrario al flujo. Es decir que el trabajo (T) de las fuerzas no conservativas que están actuando sobre la porción de fluido puede expresarse en la forma:
T=F1 . Dx1- F2. Dx2 = p1. A1. Dx1-p2. A2. Ax2
Si tenemos en cuentaque el fluido es ideal, el volumen que pasa por el punto 1 en un tiempo Dt (delta t) es el mismo que pasa por el punto 2 en el mismo intervalo de tiempo (conservación de caudal). Por lo tanto:
V=A1 . Dx1= A2. Dx2 entonces T= p1 . V - p2. V
El trabajo del fluido sobre esta porción particular se “invierte” en cambiar la velocidad del fluido y en levantar el agua en contra de la fuerzagravitatoria. En otras palabras, el trabajo de las fuerzas no conservativas que actúan sobre la porción del fluido es igual a la variación de su energía mecánica Tenemos entonces que:
T = DEcinética + AEpotencial = (Ec2 — Ec1) + (Ep2 — Ep1)
p1 . V — P2 . V = (1/2 .m . V2² — 1/2 . m. V1²) + (m . g . h2 — m . g . h1)
Considerando que la densidad del fluido está dada por d=m/V podemos acomodar la expresiónanterior para demostrar que:
P1 + 1/2 . d.  V1² + d . g. h1= P2 + 1/2 . d. V2² + d . g . h2
Noten que, como los puntos 1 y 2 son puntos cualesquiera dentro de la tubería, Bernoulli pudo demostrar que la presión, la velocidad y la altura de un fluido que circula varian siempre manteniendo una cierta cantidad constante, dada por:
p + 1/2. d . V² + d. g. h = constante
Veremos la cantidad deaplicaciones que pueden explicarse gracias a este teorema.
El teorema de Bernoulli aplicado a dos secciones de una tubería que transporta un fluido, traduce en términos analíticos el principio de la conservación de la energía.

La ecuación permite constatar que la variación de energía (pérdida) sucedida aguas arriba o aguas abajo de la tubería, es debida a la variación de presión.
Ecuación deContinuidad
La ecuación de continuidad traduce, en flujo de fluido incompresible el principio de conservación de la masa



La trayectoria seguida por una partícula de fluido estacionario se llama línea de corriente, así que por definición la velocidad es siempre tangente a la línea de corriente en cualquier punto. Por lo tanto las líneas de corriente no se pueden cruzar, sino en el punto decruce, la partícula de fluido podría irse por cualquiera de las líneas y el flujo no sería estacionario. Un conjunto de líneas de corriente forma un tubo de corriente o de flujo, las partículas de fluido se pueden mover sólo a lo largo del tubo, ya que las líneas de corriente no se cruzan.

Considerar un fluido que se mueve a lo largo de un tubo de corriente, cuya sección transversal aumenta endirección del flujo, como en la figura. En un intervalo Δt en la sección más angosta del tubo de área A1, el fluido se mueve una distancia Δx1 = v1 Δt. La masa contenida en el volumen A1 Δx1 es Δm1 = ρ1A1 Δx1. De manera similar, en la sección ancha del tubo de área A2, se obtienen expresiones equivalentes en el mismo Δt, cambiando el subíndice 1 por 2. Pero la masa se conserva en el flujo...