teorema de stokes

PROBLEMAS DE
TEOREMA DE STOKES

ENUNCIADO DEL TEOREMA DE STOKES

Sea S una superficie orientada y suave a trozos, acotada por una curva C suave a trozos, cerrada y simple, cuya orientación espositiva. Sea F un campo vectorial cuyas compo-nentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta en R3 que contiene a S. Entonces:




PROBLEMAS RESUELTOS

1) Verificación delTeorema de Stokes. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x;y;z) = 3yi + 4zj - 6xk y la parte de la superficie paraboloidal z = 9 - x2 - y2 ubicada sobre el plano xy y orientadahacia arriba.

SOLUCIÓN

Cálculo como integral de línea: La curva C es en este caso una circunferencia de radio 3 centrada en el origen sobre el plano xy. Podemos parametrizarla como:



Conesta parametrización tenemos:

F() = 9sen i + 0j  18cos k

r´() = 3sen i + 3cos j + 0k

r´() = 27sen2



Cálculo como integral de superficie: Primero evaluamos el rotacional.Ahora parametrizamos la superficie del paraboloide. Para eso observamos que su pro-yección sobre el plano xy es un círculo de radio 3 con centro en el origen. Parece lógico usar unaparametrización basada en coordenadas cilíndricas:



El producto vectorial fundamental será:



Vemos que la componente z de este vector es positiva. Por lo tanto la parametrización describe a unasuperficie con orientación positiva.

Usando entonces esta parametrización, tenemos:



Llegamos al mismo valor que cuando lo hicimos como integral de línea, verificando de esa manera el teorema deStokes.


2) Transformación de una integral de superficie en otra más sencilla usando el Teorema de Stokes. Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral del rotacional del campo vectorialF(x; y; z) = xyzi + xyj + x2yzk sobre el dominio S consistente en la unión de la parte superior y de las cuatro caras laterales (pero no el fondo) del cubo con vértices (1; 1; 1), orientado...