Teorema De Tales

PRIMER TEOREMA DE TALES
OBJETIVO: demostrar, de modo intuitivo y dinámico, del teorema de Tales y  de sus aplicaciones en el estudio de la semejanza de polígonos.
PLANTEAMIENTO DEL TEOREMA
Es de suma importancia trabajar sobre este tema ya visto que nos sirve de apoyo para continuar aclarando las ideas porque cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos saber a cualnos referimos pues existen  dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.
El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).
Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (loscircuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa).
PREGUNTA DE INVESTIGACION
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo
Nació: alrededor del año 640 AC en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía) Tales era un hombre que se destacó en varia áreas: comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geometría Tales era considerado uno de los siete sabios de Grecia.
Sobresaleespecialmente por: sus teoremas geométricos aparecen los inicios del concepto de demostración y se podría decir que son el punto de partida en el proceso de organización racional de las matemáticas.
LA LEYENDA DE TALES Y LAS PIRÁMIDES
Según la leyenda (relatada por Plutarco), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglosantes. 
Admirado ante tan portentosos monumentos, quiso saber su altura.
La leyenda dice que solucionó el problema aprovechando la semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos).
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Así, estableció una relación de semejanza (Primer teorema de Tales) entre dos triángulos rectángulos, los que se grafican en la figura a la derecha.
Por un lado elque tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (C, conocible) y la longitud de su altura (D, desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) otro cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara (A) y la longitud de su sombra (B). Como en triángulos semejantes, se cumple que , por lo tanto la altura de lapirámide es , con lo cual resolvió el problema.
PRIMER TEOREMA
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si en un triángulo se traza una líneaparalela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:
| Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los la dos del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC. Lo que se traduce en la fórmula   |
 
Hagamos un ejercicio comoejemplo:
 En el triángulo de la derecha, hallar las medidas de los segmentos a y b.Aplicamos la fórmula, y tenemos | |

OTRA VARIANTE DEL TEOREMA DE TALES
| Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo):Si dos rectas cuales quieras (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) lossegmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).  |
 
Ejercicios
1. Las rectas a, b y c son paralelas. Hallar la longitud de x.

 

2.Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

Sí, porque se cumple el teorema de Thales.
 

APLICACIÓN DEL PRIMER TEOREMA DE TALES
Una...