Teorema Del Coseno

Teorema del coseno
El teorema del coseno es una generalización del teorema Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y
de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua),
normalmente, en trigonometría.
la notación moderna permite formular el enunciado así:
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera
con losotros dos y con el coseno del ángulo formado por
estos dos lados:
En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido
con el nombre de teorema del coseno, denominación no
obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo,
lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi
que unificó los resultados de sus predecesores.[1]

Fig. 2 - Triángulo ABC con altura BH.

AB 2 = CA2 + CB 2 + 2 CACH
Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la
Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y
en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani[4] generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica
Fig. 1 - Notación más habitual de un triángulo.
a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.[5][6]Fue durante el mismo período cuando se establecieron las
primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno
1 Historia
y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi,[7] matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema
Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., bajo una forma utilizable para la triangulación durante
contienen ya una aproximación geométrica de la genera- elsiglo XV. La propiedad fue popularizada en occidenlización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 te por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió
y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un independientemente.[8]
triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La
formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de Fue a finales del siglo XVII cuando lanotación algebraifunciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar ca moderna, aunada a la notación moderna de las funen términos de diferencias de áreas.[2] Por eso, la propo- ciones trigonométricas introducida por Euler en su libro
Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el
sición 12 utiliza estos términos:
teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre
de teorema (o ley)del coseno.[9]
«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es
mayor que los cuadrados de los lados que
2 El teorema y sus aplicaciones
comprenden el ángulo obtuso en dos veces
el rectángulo comprendido por un lado de
El teorema del coseno es también conocido por el nomlos del ángulo obtuso sobre el que cae la
bre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que elperpendicular y la recta exterior cortada por la
teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ánperpendicular, hasta el ángulo obtuso».
gulo γ es recto o, dicho de otro modo, cuando cos γ = 0
Euclides, Elementos.[3]
, el teorema del coseno se reduce a:
1

2

3

DEMOSTRACIONES

3 Demostraciones

c2 = a2 + b2

que es precisamente la formulación del teorema de Pitá- 3.1
goras.

Por desglosede áreas

Fig. 4a - Demostración del teorema del coseno por desglose de
áreas, cuando el ángulo es agudo.

Un cierto número de las demostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en efecto
remarcar que
• a2 , b2 , c2 son las áreas de los cuadrados de lados
respectivos a, b, c.
• ab cos(γ) es el área de un paralelogramo de lados a y
b que forman un ángulo de 90°-γ (para unaprueba,
ver el apéndice).
Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado desconocido.

El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para
resolver un triángulo, y saber determinar:
• el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un
ángulo y los lados adyacentes:
c=

√

a2 + b2 − 2ab cos γ .

• los ángulos de un triángulo cuando conocemos los
tres lados:
2

γ = arccos a

+b2...