teorema fundamental del algebra





























Teorema fundamental del álgebra
El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces1 como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo de grado , la ecuación  tieneexactamente  soluciones complejas, contando multiplicidades. De manera equivalente:
El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.
Todo polinomio complejo de grado n se puede expresar como un producto de n polinomios de la forma .
El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera:
Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos unaraíz (real o compleja).2
Aunque ésta en principio parece ser una declaración más débil, implica fácilmente la forma completa por la división polinómica sucesiva por factores lineales.
El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra.
Historia
Pedro Rothe (Petrus Roth), en su libro ArithmeticaPhilosophica (publicado en 1608), escribió que una ecuación polinómica de grado  (con coeficientes reales) puede tener  soluciones. Alberto Girardo, en su libro L'invention nouvelle en l'Algebre (publicado en1629), aseveró que una ecuación de grado  tiene  soluciones, pero no menciona que dichas soluciones deban ser números reales. Más aún, él agrega que su aseveración es válida "salvo que laecuación sea incompleta", con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del polinomio sea igual a cero. Sin embargo, cuando explica en detalle a qué se está refiriendo, se hace evidente que el autor piensa que la aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que la ecuación

a pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raíz 1 tiene multiplicidad 2):Leibniz en 1702 y más tarde Nikolaus Bernoulli, conjeturaron lo contrario.
Como se mencionará de nuevo más adelante, se sigue del teorema fundamental del álgebra que todo polinomio con coeficientes reales y de grado mayor que cero se puede escribir como un producto de polinomios con coeficientes reales del cual sus grados son 1 ó 2. De todas formas, en 1702 Leibniz dijo que ningún polinomio detipo  (con a real y distinto de 0) se puede escribir en tal manera. Luego, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación concerniente al polinomio , pero recibió una carta de Euler en 1742 en el que le decía que su polinomio pasaba a ser igual a:

con α igual a raíz cuadrada de 4 + 2√7. Igualmente mencionó que:

El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alembert en 1746. Sudemostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema (actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un siglo más tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795) intentaron demostrar este teorema.
A finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otrapor Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas. Finalmente, en 1806 Argand publicó una prueba correcta para el teorema, enunciando el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos. Gauss produjo otro par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última otra versión de su demostración original.
El primer libro de texto que contiene la demostración de este teorema fue escritopor Cauchy. Se trata de Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique (1821). La prueba es la debida a Argand, pero sin embargo en el texto no se le da crédito.
Ninguna de las pruebas mencionadas más arriba son constructivas. Es Weierstrass quien por primera vez, a mediados del siglo XIX, menciona el problema de encontrar una prueba constructiva del teorema fundamental del álgebra....