teorema pi

El Teorema Pi y la modelaci´
on
Luis Quintanar Medina
Instituto Superior de Matem´atica (INSUMA)
Aguascalientes, Ags.

Magnitudes, unidades y dimensiones
Para describir los fen´omenos que nos rodean es necesario determinar
primero las magnitudes que pueden ser u
´tiles, aqu´ellas que tienen una influencia primordial en su desarrollo; despu´es nos interesa conocer relaciones
entre ellaso leyes.
Tales relaciones pueden obtenerse directamente de forma experimental o
partiendo de alguna teor´ıa conocida; otra forma consiste en establecer una
relaci´on tentativa (que despu´es habr´a de comprobarse o desecharse con ayuda
del experimento) usando el llamado Teorema Pi de Buckingham, que es el
caso que nos interesa; este t´opico pertenece al an´alisis dimensional, con el
cual selogra completar un an´alisis matem´atico de los problemas que surgen
en la realidad y reducir costos de experimentaci´on; esta t´ecnica es muy u
´til
en problemas que surgen en mec´anica, en particular la de fluidos.
Las magnitudes como la velocidad, densidad, etc. se expresan en ciertas
kg
unidades, como metros por segundo ms , kilogramo por metro c´
ubico m
3 , etc.
Por otra parte, enmec´anica tenemos tres dimensiones importantes: longitud (L), masa (M ) y tiempo (T ), que se expresan en unidades como metro,
kilogramo y segundo, respectivamente; una magnitud f´ısica como la velocidad se puede expresar en metros por segundo ( ms ) y en dimensiones como TL
o L1 T −1 .
Representaremos las dimensiones de una magnitud con par´entesis cuadrados [ ], por ejemplo, si usamos la letrav para referirnos a la magnitud velocidad, [v]=L1 T −1 ; en general, si tenemos n magnitudes qi , se pueden escribir
ami
sus dimensiones como [qi ]=D1a1i D2a2i . . . , Dm
, i = 1, 2, . . . , n., en donde los
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Revista del Depto. Mat. y F´ıs. UAA

Dj , j = 1, 2, . . . , m representan alguna dimensi´on, como L, M o T ; en esta
notaci´on [v] = L1 T −1 M 0 .
Si [qi ] = 1 se dice queqi es adimensional; esto supone que los aij = 0 ∀i, j.

Independencia de las unidades
Una ley ser´a una relaci´on entre las magnitudes que describen un fen´omeno;
por ejemplo, la ley entre las magnitudes velocidad (v), aceleraci´on (para el
caso de aceleraci´on, a, constante) y tiempo (t) del movimiento rectil´ıneo de
un objeto considerado como un punto es
v = v0 + at,
en donde v0representa la velocidad inicial.
La expresi´on anterior se puede escribir como
v − v0 − at = 0
o, en forma m´as general, como
f (v, v0, a, t) = 0.
Consideremos lo siguiente: si sabemos que se cumple la ley v = v0 + at
para cuando la velocidad se est´a expresando en ms , la aceleraci´on en sm2 y
el tiempo en segundos, ¿se cumplir´a la misma ley entre estas magnitudes
si la velocidad, laaceleraci´on y el tiempo se expresaran en otras unidades,
, cm
, s?
digamos, respectivamente, cm
s
s2
Si es as´ı, se dice que la ley es libre de unidades (unit free):
La ley f´ısica f (q1 , q2 , . . . , qn ) es libre de unidades si para todos los reales
λ1 , λ2 , . . . , λm con λi > 0, i = 1, 2, . . . , m, tenemos
b

f (q 1 , q 2 , . . . , q n ) = 0 ⇔ f (q1 , q2, . . . , qn ) = 0 con q j = λ1qλb22 . . . , λbmm qj .

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El Teorema Pi
El teorema Pi dice lo siguiente:
1. Sea la ley f´ısica f (q1 , q2 , . . . , qn ) = 0, libre de unidades, en donde q1 ,
q2 , . . . , qn son magnitudes dimensionales.
2. Sea L1, L2 , . . . , Lm , m < n, dimensiones b´asicas y
[qi ] = La11i La22i . . . , Lammi , i = 1, 2, . . . , n.
3. Si


a11
 a21

.A=
.

.
am1

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.


a1n

.


.


.


.
amn

es una matriz mxn de rango r.
ENTONCES
a) Existen n − r cantidades adimensionales Π1, Π2, . . . , Πn−r independientes que pueden formarse con las q1 , q2 , . . . , qn .
b) La ley f´ısica f (q1 , q2 , . . . , qn ) = 0 es equivalente a F (Π1,...