Teoria.1

Continuidad de una función |

Diremos que una función f es continua en un punto x=a si se cumplen las tres condiciones siguientes:1. Existe f(a) 2. Existe  3. Discontinuidades
Si una función noes continua en un punto se dice que es discontinua en ese punto, la discontinuidad puede ser:Evitable si existen f(a) y  es un número real, pero no coinciden. Se evita la discontinuidad haciendo Noevitableésta a su vez se divide en discontinuidad de primera especie, existen los limites laterales en el punto pero no coinciden y de segunda especie, no existe alguno de los límiteslaterales.Discontinuidad de primera especieSalto finito, los dos límites laterales son un número real, el salto es la diferencia entre los límites laterales.Salto infinito, uno de los límites laterales es infinito. || f(x)=x2 |
Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo decurva.
|    | f(x)=sgn x |
En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí unadiscontinuidad.
La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.
Expresemos esto en términos delconcepto de límite...
Definición
Continuidad
Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).
Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser iguala f(a).
Ejemplos de discontinuidad
| f(x)= 1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0)) |

|     | f(x) = x2 si x <= 2
        2x - 4 si x > 2 

Discontinua en x=2.

Si bien existef(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0 |
Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es...