Teoria_Baricentro_Momento_ de_Inercia

Parte I

Contenido Te´
orico

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UNIDAD 3
Baricentro y Momento de Inercia

por Javier L. Mroginski

3.1

Baricentros.

En esta secci´
on se estudiar´
a la obtienci´on de la expresi´on anal´ıtica del centro de masa y
baricentro de cuerpos en el espacio.

3.1.1

Momento de primer orden. Centro de masas.

Dado el conjunto de puntos Ai (con i = 1, 2, 3, . . . , n) de la Fig. 3.1 cuyas coordenadasrespecto del sistema de ejes cartesianos son xi , yi , zi . Asumimos a su vez que la cada punto
posee una masa concentrada mi . Se define de esta manera al conjunto de puntos Ai con masas
mi como sistema de puntos materiales o conjunto discreto de masas.

Figura 3.1: Sistema de puntos materiales
Por otro lado, se define como momento est´atico o momento de primer orden de las masas
mi respecto delplano formado por los ejes x e y, al producto de la masa mi por su distancia a
dicho plano, zi .
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Estabilidad 1
Facultad de Ingenier´ıa. UNNE.

Sxy = mi zi

(3.1)

Se observa de la expresi´
on anterior que el momento de primer orden es una magnitud escalar,
y consecuentemente, no puede ser representado gr´aficamente mediante un vector.
An´alogamente es posible obtener los momentos de primerorden de la masa mi respecto de
los planos yz y zx de la siguiente manera.

Syz =mi xi

(3.2)

Szx =mi yi

(3.3)

Luego, se define como centro de masa del conjunto discreto de masas mi al punto material
G cuya masa es igual (equivalente) a la sumatoria de las masas mi que componen el sistema, y
cuyo momento de primer orden respecto de cada uno de los tres planos xy, yz y zx es igual a la
suma de losmomentos de primer orden de las masas mi respecto a dichos planos. Es decir, el
centro de masa G es un punto material que cumple con las siguientes condiciones:

n

M=

mi

(3.4)

m i xi

(3.5)

m i yi

(3.6)

mi zi

(3.7)

i=1
n

M xG =
i=1
n

M yG =
i=1
n

M zG =
i=1

donde xG , yG , zG son las coordenadas del centro de masa y M es la masa total del sistema, que
se asume concentrada en el puntoG.
A parir de las condiciones que debe cumplir el centro de masa, Ecs. (3.4)-(3.7), es posible
determinar su ubicaci´
on en el espacio.

xG =

3.1.2

m i xi
mi

,

m i yi
mi

yG =

,

zG =

mi zi
mi

(3.8)

Medios continuos. Baricentro.

El concepto de masas discretas empleado en la seccion anterior, si bien tiene aplicaciones
pr´acticas, no representa con fidelidad la naturaleza de los cuerpos. Lamasa es una magnitud
escalar y continua, que conforma un cuerpo en el espacio, una superficie en el plano, o bien, una
cuerda unidimensional.
Consideremos ahora el cuerpo formado por masas elementales dm de la Fig. 3.2. En este caso,
las masas discretas mi que anteriormente correspond´ıan a puntos espaciales Ai se transforman
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Unidad 3
Baricentro y Momento de Inercia

Figura 3.2: Momento deprimer orden de un medio continuo
en elementos diferenciales de masa dm distribu´ıdos en todo el volumen del continuo. Por lo
tanto, el momento de primer orden de conjuntos continuos, respecto al plano formado por los
ejes x e y es la integral, y no la sumatoria, de los diferenciales de masa dm por su distancia a
dicho plano, z.
Sxy =

z dm

(3.9)

En forma an´
aloga se definen los momento de primerorden de conjuntos continuos, respecto
de los planos yz y zx, seg´
un

Syz =

x dm

(3.10)

Szx =

y dm

(3.11)

Al igual que para sistemas discretos, el centro de masa de conjuntos contimuos denominado
baricentro debe cumplir con condiciones equivalentes a las Ecs. (3.5)-(3.7), es decir:

M=

dm

(3.12)

M xG =

x dm

(3.13)

M yG =

y dm

(3.14)

M zG =

z dm

(3.15)

a partir de la cual sepuede obtener las cordenadas del baricentro de medios continuos:

xG =

x dm
dm

,

y dm
dm

yG =

,

zG =

z dm
dm

(3.16)

Por otro lado, si el sistema continuo considerado es un cuerpo que ocupa un volumen V y
cuya densidad, variable en cada punto del cuerpo, es δ (x, y, z), el elemento diferencial de masa
puede expresarse como
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Estabilidad 1
Facultad de Ingenier´ıa. UNNE.

dm = δ dV

(3.17)...