Teoria Electromagnetica

Capítulo 4 LOS NÚMEROS COMPLEJOS
4.1 INTRODUCCIÓN Desde la antiguedad se conocía el hecho de que ecuaciones tan simples como no tenían solución entre los números que representaban cantidades, que eran los únicos números que se consideraban en aquella época (números reales). Este tipo de ecuaciones no despertó entonces el interés de los matemáticos: sencillamente no tenían solución. Fué enItalia, durante el período del renacimiento, cuando por primera vez los algebristas se encuentran con expresiones formales donde aparecen raíces cuadradas de números negativos. Pero la motivación principal para entender estas expresiones no viene de las ecuaciones cuadráticas sino de las ecuaciones cúbicas. Es en el libro Ars Magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545, donde aparecen los númeroscomplejos por primera vez. Allí se presenta, por ejemplo, la ecuación:

y Cardano dá como solución la fórmula:

conocida hoy, haciendo un poco de justicia a la historia, como fórmula de Scipione del Ferro- Tartaglia-Cardano. Si ponemos entonces la ecuación: tendrá como solución, según esta formula:

Con un poco de paciencia, si uno sustituye este número en la ecuación y si se acepta que: )

121entonces efectivamente la satisface. Fué Rafael Bombelli , considerado el padre de los números complejos, quien desarrolló el álgebra formal de este tipo de expresiones, basándose en la obra de Cardano. Sin embargo, el significado de estos números seguía quedando en la obscuridad. Es por eso que se los llamó imaginarios y fué Euler quien propuso llamar a la unidad imaginaria Finalmente Gausspublica, en 1831, un trabajo donde expone con toda claridad las propiedades de los números de la forma , cuya representación gráfica como puntos de un plano ya había sido planteada en 1806 por el suizo J.Argand, por lo que dicha representación se conoce como diagrama de Argand. 4.2. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES BÁSICAS Sea provisto de la siguiente estructura algebraica: suma: producto: Cabepreguntarse qué reglas básicas satisfacen estas operaciones. La respuesta es que el trío es un cuerpo conmutativo, es decir, satisface los siguientes 9 axiomas: 1) asociatividad de la suma: 2) existencia de neutro de la suma: ) existencia de inverso de la suma: ) conmutatividad de la suma: ) asociatividad del producto: ) existencia de neutro del producto : ) existencia de inverso del producto para elementosno nulos 8) conmutatividad del producto: 9) distributividad : La demostración de estas propiedades es sencilla, pero , en algunos casos, un poco larga y tediosa. Veamos algunas de ellas: el par es obviamente un neutro de la suma, así como el par es inverso aditivo de El par es claramente neutro del producto y el par es inverso multiplicativo del par . Notar que si entonces no puede ser por lo que.

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La asociatividad de la suma se obtiene directamente de la asociatividad de la suma en , pero la asociatividad del producto es preciso comprobarla con un cálculo un poco largo usando la definición. Lo mismo ocurre con la distributividad. Los números complejos pueden representarse como puntos en un plano:

Figura 4.1 Los números reales pueden ser sumergidos dentro de los complejos:consideremos el subconjunto : la función definida por es una función biyectiva que respeta las operaciones:

Una biyección de este tipo se llama un isomorfismo y permite identificar (o más propiamente: abreviar) el complejo con el real . Es en este sentido en que los reales pueden ser considerados como parte de los complejos. En rigor se trata de complejos con segunda componente nula. El númerocomplejo se llama unidad imaginaria y se denota por la letra latina . Con estas abreviaturas podemos representar cada número complejo en la forma llamada cartesiana:

Notar que el complejo satisface la propiedad:

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Es en este sentido que es una raiz cuadrada de , pero en realidad no del real sino del complejo, es decir, de la pareja Para el complejo se llama parte real de al real...