Teoría De La Ruina

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Revista Colombiana de Estadística

N2 8 - 1983

TEORÍA DE LA RUINA
Y

EL PROCESO DE WIENER

NéstorJacobo LasprlUia A. Estudiante c a r r e r a de Matemáticas

Director del Seminario: Luis G. Moreno 0.

Introducción.

El objetivo principal de éste trabajo es establecer una analogía entre la Teoría de la Ruina y el Movimiento Browniano. Con éste fin se considera el MovimientoFinanciero de una em presa desde el punto de vista del movimiento de una partícula Browniana y mediante el Teorema del Límite Central, se establece la distribución de la probabilidad del tiempo que transcurre pa_

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ra que la empresa en mención se arruine.

1. Nociones generales de Procesos Estocásticos,
La teoría clásica de probabilidades trata con problemas que envuelven colecciones devaria^ bles aleatorias independientes. Sin embargo, muchos problemas reales no son de esta naturaleza y para tratarlos satisfactoriamente es necesario extender la teoría a colecciones de variables aleatorias dependientes. Una colección {X*} de variables aleatorias definidas sobre un espacio de probabilidad (fi,?,p) se conoce con el nombre de "Proceso Estocástico" Los elementos principales quedistinguen a un proceso estocástico son: El conjunto de subíndices, el espacio de los estados y las relaci£ nes entre las variables aleatorias. En unproceso estocástico {X^}, el conjunto no vacío del cual t toma sus valores se conoce con el nombre de "Conjunto de Subíndices", Un proceso íXj,: - = 1} en donde I € Z es llamado t "Proceso estocástico de tiempo discreto", míen-

76 tras que un proceso"fX.: ; e I} en donde I c R , t es llamado "Proceso estocástico de tiempo contí-

El espacio de los estados, que indicaremos por S, es el espacio que contiene los valores de cada variable Xj^. Cuando S es enumerable, el

proceso ÍX^} es un proceso de estado dlScAeto.

Por

el contrario si S no es enumerable nos referiremos al proceso {X.} como a un p r o c e s o de e s t a d o continuo. Elespacio S puede ser unidimensional, bidimensional n-dimensional, Dentro de los procesos estocásticos podemos distinguir; entre otros, los caminos aleatorios y los procesos de Markov. a. Cam i nos a 1ea tor ios. Sean, X.,X2,... v.a. independientes y dis^ tribuidas idénticamente y x c R. El proceso es^ tocástico S_,S.,S2,... con S Q = X y S^ = X+Xj^ + ,,,+X para n = 1,2,... es llamado un camino

al e a t o r i o que s e I n i c i a en x.
las variables aleatorias

En este contexto

\ = ^n - V i

^ = ''^"

son llamadas los I n c r e m e n t o s del proceso í^^^}

77 Cuando el espacio de los estados del proceso {5,} es un subconjunto de los enteros, la sucen ^ ' sión {S„} recibe el nombre de camino a l e a t o r i o n u n i d i m e n s i o n a l . En este caso, el proceso esrepresentado por una partícula que se desplaza en forma horizontal (sobre la recta real). Si la partícula se halla en el estado I , puede en una transición simple, permanecer en I , con pr£ habilidad r . , o moverse a uno de los estados ad yacentes: l - l ó -c+1, con probabilidades < • y p • ? respectivamente. Puesto que no hay más alterna^ tivas tenemos: q .+r .+p . = 1 cualquiera que sea
Ar

AmrAr

el estado

1.

b. Procesos de Ma rkov. Un proceso "CXj.: í e: I} recibe el nombre de P r o c e s o de Markov, si para todo conjunto B de Borel^ ) en R se tiene: PÍX^ = B/X^^ = Xj,X^ = X 2 , . . . , X t ^ = x^} P{X_^-B/X^^-x^},

( ) Decimos que un conjunto B es de Borel, si puede ser * obtenido por un número contable de operaciones (unió nes, intersecciones o complementos) a partir deconjuntos abiertos.

78 siempre y cuando t . < t - < . . .< t < t . En otras palabras, la probabilidad de cualquier comporta^ miento futuro del proceso, cuando su estado pr£ senté es conocido, no se altera por el conocimiento adicional que concierne a su comportamien to pasado.

2. El proceso de Wiener o movimiento browniano.
El movimiento browniano, descubierto como un fenómeno físico,...