termo

PARTE 3 CAPÍTULO 4
CADENAS DE MARKOV EN TIEMPO CONTINUO
Procesos de nacimiento y Muerte

Consideremos un sistema cuyo estado en cualquier instante representa la
cantidad de entidades ( por ej. personas, piezas a producir, etc. ) en el
sistema en ese instante. Supongamos que, cada vez que hay n entidades
en el sistema, nuevas entidades entran al sistema ( de a una ) a una tasa
exponencialλ y , entidades dejan el sistema a una tasa exponencial μ

n

n

Es decir: si hay n entidades en el sistema, el tiempo que transcurre hasta
la siguiente llegada tiene distribución exponencial con valor esperado
1/ λn , y es independiente del tiempo que transcurre hasta una nueva
partida el cual tiene distribución exponencial con valor esperado 1/

μn.

Un sistema de este tipo es unaCadena de Markov en Tiempo Continuo la
cual se conoce específicamente con el nombre de Proceso de
Nacimiento y Muerte.
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Profesor Fernando Paredes

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CADENAS DE MARKOV EN TIEMPO CONTINUO
Los parámetros λn , μn , n = 0, 1, 2, ….., se denominan
respectivamente tasa de llegada ( nacimiento ) y tasa de
partida ( muerte ).
Definición.
Un Procesode Nacimiento y Muerte es una Cadena de
Markov en Tiempo Continuo con estados 0, 1, 2, 3, …, para
los cuales las transiciones desde el estado i, solo pueden ser
al estado i-1 o al estado i+1 . Las relaciones entre las tasa de
nacimiento y muerte, como las tasas de transición y
probabilidades de transición de estados son:

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CADENAS DE MARKOV EN TIEMPO CONTINUO
v0 = λ0
vi = λi + μi , i = 1, 2, …..
P01 = 1
λ
i
, i = 1, 2, ….
Pi, i + 1 =
λ μ
i
i

Pi, i – 1

μ
= λ iμ , i = 1, 2, ….
i
i

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Si el sistema se encuentra en el estado i , el próximo estado
será i + 1 si unnacimiento ocurre antes que una muerte.
Recordando que la probabilidad de que un v.a. que distribuye
exponencial con tasa λi ocurra antes de que ocurra una v.a.
( independiente ) que distribuye exponencial a tasaμi
es
igual a :
λ
i
λ μ
i
i

lo que deriva la expresión para Pi, i + 1
En forma análoga, se deriva la expresión para Pi, i - 1

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Distribución Estacionaria para Procesos de Nacimiento y
Muerte
Aplicando la condición de balance de tasas de entrada y
salida en cada estado, se tiene:
Estado 0: λ0P0 = µ1P1
Estado 1: ( λ1 + µ1 )P1 = λ0P0 + µ2P2
.
.

Estado n ( n ≥ 1 ): ( λn + µn )Pn = λn-1Pn-1 + µn+1Pn+1
Sumando a cada ecuación la ecuación quela precede se
obtiene el sistema de ecuaciones dado por:
λnPn = µn+1Pn+1 , n ≥ 0
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Resolviendo recursivamente en términos de P0, se tiene:

λ λ .......... λ
..λ
1 0 P0 , n ≥ 1
Pn = n1 n2
μnμ .......... μ μ
.....
n1
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(*)


 Pn 1
n0

λ λ .......... λ..λ
n
P  μ 1 n 2 ..... 1μ0 P  1 (**)
0 nμn1.......... μ2 1 0
Despejando P0 de (**) y reemplazando en (*):

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λ
λ
............λ λ
n 1 n  2
1 0
Pn  μ μ
n n 1...............μ 2μ1















1
 λ n 1λ n  2 ............λ1λ 0
1
n 1 μ n μ n 1...............μ 2μ1















Nota:
Para que las probabilidades límites existan es necesario y
suficiente que la serie que aparece en la expresión anterior
sea < ∞ ( es decir, convergente )

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Ejercicio
Determinar las...