tesis

Cap´
ıtulo 1

L´gica Proposicional
o
1.1.

Proposiciones, conectivos, f´rmulas proposicionales
o

Definici´n 1. Una proposici´n es una afirmaci´n que puede ser verdadera o falsa.
o
o
o
Una proposici´n es at´mica si es imposible descomponerla en proposiciones m´s simples.
o
o
a
Para combinar proposiciones y formar nuevas proposiciones m´s complejas usamos los llaa
mados conectivosl´gicos .
o

1.1.1.

Algunos conectivos

Negaci´n La negaci´n de una proposici´n es la que afirma que la proposici´n original no es
o
o
o
o
verdadera. Generalmente se obtiene agregando “no” (o “no es verdad que”) antes de la
proposici´n original.
o
Conjunci´n La conjunci´n de dos proposiciones es la que afirma que ambas proposiciones son
o
o
verdaderas. Se obtiene intercalando “y”entre las dos proposiciones originales.
Disyunci´n La disyunci´n de dos proposiciones es la que afirma que al menos una de las
o
o
dos proposiciones es verdadera. Se obtiene intercalando “o” entre las dos proposiciones
originales.
Condicional La proposici´n condicional entre dos proposiciones (el antecedente y el consecueno
te ) es la que afirma que, cada vez que el antecedente es verdadero,el consecuente tambi´n
e
lo es. Puede ser obtenido precediendo el antencedente por “si” e intercalando “entonces”
entre el antecedente y el consecuente.
Bicondicional La proposici´n bicondicional entre dos proposiciones es la que afirma que, o
o
ambas son verdaderas, o ambas son falsas. Puede ser obtenida intercalando la frase “si y
s´lo si”, o bien “siempre y cuando” entre las dosproposiciones originales.
o
Ejercicio. ¿Cu´ntos conectivos binarios (esencialmente diferentes) es posible definir?
a
Respuesta. Hay un total de 24 = 16 conectivos binarios distintos.
Postergaremos la justificaci´n de esto hasta que veamos tablas de verdad .
o

1.2.

F´rmulas proposicionales
o

Para trabajar con proposiciones, las representamos por f´rmulas , llamadas —apropiadamente—
of´rmulas proposicionales . En estricto rigor, una f´rmula proposicional es simplemente una seo
o
cuencia de s´
ımbolos, a la cual se asocia una proposici´n.
o
1

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA PROPOSICIONAL

1.3. ALGUNOS COMENTARIOS

Las proposiciones at´micas son representadas por variables proposicionales , que generalmente
o
son letras may´sculas: P , Q, R, S , etc. Si debemos utilizardemasiadas variables proposicionales,
u
recurrimos a sub-´
ındices; as´ podemos tener variables proposicionales P1 , P2 , P3 ,. . . , Q1 , Q2 , Q3 ,
ı,
etc.
Las proposiciones compuestas son representadas como sigue: si dos proposiciones ϕ y ψ son
representadas, respectivamente, por las f´rmulas proposicionales p y q , entonces representamos
o
(y leemos) las siguientes proposiciones compuestascomo sigue:
Proposici´n
o
Representaci´n
o
Lectura
Negaci´n de ϕ
o
(¬p)
no p.
Conjunci´n de ϕ y ψ
o
(p ∧ q )
p y q.
Disyunci´n de ϕ y ψ
o
(p ∨ q )
p o q.
Condicional entre ϕ y ψ
(p → q )
si p entonces q .
Bicondicional entre ϕ y ψ
(p ↔ q )
p si y s´lo si q .
o

1.3.

Algunos comentarios

Note que tenderemos a identificar las f´rmulas proposicionales con las proposicionesque
o
representan; o sea, a veces diremos “proposici´n” cuando lo correcto ser´ decir “f´rmula propoo
ıa
o
sicional”.
En particular, identificaremos las proposiciones at´micas con las variables proposicionales
o
que las representan.
Adem´s, en la medida de lo posible, cuando no se preste a confusiones, eliminaremos los
a
par´ntesis m´s exteriores de (p ∧ q ), (p ∨ q ), etc. En general,intentaremos eliminar la mayor
e
a
cantidad posible de par´ntesis, en la medida en que esto no deje ambigua a la f´rmula.
e
o

1.4. Valor de verdad de proposiciones compuestas
Una proposici´n compuesta, formada por subproposiciones, ser´ verdadera o falsa dependieno
a
do de los valores de verdad de las subproposiciones que la forman.
Ejemplo. Consid´rese la proposici´n ((¬P ∧ Q) ∨ (R...