tesis

An´lisis Num´rico: Soluciones de ecuaciones en
a
e
una variable
Computaci´n / Matem´ticas
o
a

MA2008

Computaci´n / Matem´ticas
o
a

An´lisis Num´rico: Soluciones de ecuaciones en una variable
a
e

Contexto

Uno de los problemas b´sicos en el ´rea de Ingenier´ es el de la
a
a
ıa
b´squeda de ra´
u
ıces: Dada una funci´n o expresi´n matem´tica
o
o
a
y = f (x), elproblema consiste en determinar un valor xo dentro
del dominio de la funci´n tal que f (xo ) = 0. En t´rminos gr´ficos,
o
e
a
el problema consiste en determinar un punto donde la gr´fica de
a
y = f (x) corte el eje de las x.
y

y = f (x)
x

Computaci´n / Matem´ticas
o
a

An´lisis Num´rico: Soluciones de ecuaciones en una variable
a
e

M´todo de Bisecci´n
e
o

Hip´tesis:
o
Lafunci´n y = f (x) es continua en el intervalo [a, b]
o
La funci´n y = f (x) cambia de signo: f (a) · f (b) < 0
o
Idea
1

Tomar el punto medio c = (a + b)/2 y determinar f (c).

2

Si (f (c) = 0) ´ el valor |(b − a)/2| es menor que una
o
tolerancia dada, entonces el proceso termina.

3

Si f (a) · f (c) < 0, entonces debe buscar en [a, c] haciendo
b = c y reiniciando en el paso1.

4

Debe ocurrir que f (c) · f (b) < 0; se debe buscar en [c, b]
haciendo a = c y reiniciando en el paso 1.

Computaci´n / Matem´ticas
o
a

An´lisis Num´rico: Soluciones de ecuaciones en una variable
a
e

M´todo de Bisecci´n
e
o
Ventajas y desventajas
Conocido el intervalo [a, b] donde se localiza la ra´ se puede
ız,
calcular en cu´ntas iteraciones se aproxima a la ra´ parauna
a
ız
tolerancia dada: La ra´ siempre se encuentra en el intervalo
ız
de trabajo y en cada iteraci´n la longitud del intervalo se
o
reduce a la mitad del anterior. As´ el n´mero de iteraciones
ı,
u
para el cual se tiene ubicada la ra´ con una tolerancia (tol)
ız
dada es:
ln |b−a|
tol
≤n
ln(2)
Localizar el intervalo donde se encuentra la ra´ puede ser una
ız
tarea complicada.Computaci´n / Matem´ticas
o
a

An´lisis Num´rico: Soluciones de ecuaciones en una variable
a
e

M´todo de Newton
e
Tambi´n conocido como el m´todo de Newton-Raphson es quiz´ la
e
e
a
t´cnica m´s popular y adecuada para encontrar una ra´ de y = f (x). Se
e
a
ız
basa en la idea de la aproximaci´n lineal a una funci´n mediante los
o
o
primeros t´rminos del desarrollo deTaylor: si la funci´n admite segundas
e
o
derivadas continuas en el punto xo cualquiera
1
f (x) = f (xo ) + (x − xo ) · f (xo ) + (x − xo )2 f (ξ(x))
2
Donde ξ(x) est´ entre x y xo . Si x = r es la ra´ buscada entonces para
a
ız
x = r la expresi´n anterior queda
o
1
0 = f (r ) = f (xo ) + (r − xo ) · f (xo ) + (r − xo )2 f (ξ(x))
2
1
2
Suponiendo que 2 (r − xo ) f (ξ(x)) es peque˜o seobtiene
n
0 = f (xo ) + (r − xo ) · f (xo )
de donde si f (xo ) = 0 se obtiene:
r = xo −
Computaci´n / Matem´ticas
o
a

f (xo )
f (xo )
An´lisis Num´rico: Soluciones de ecuaciones en una variable
a
e

Observaciones
El m´todo de Newton-Raphson es un m´todo iterativo:
e
e
Inicialmente se parte de una aproximaci´n xo y a partir de ella
o
y de la f´rmua de recurrencia:
o
x1 =xo −

f (xo )
f (xo )

se determina una mejor aproximaci´n.
o
La idea geom´trica detr´s del m´todo de Newton-Raphson es
e
a
e
hacer una aproximaci´n de la funci´n por medio de la recta
o
o
tangente en el punto (xo , f (xo )) y ver donde tal recta corta el
eje de las x; ese valor de x es la siguiente aproximaci´n.
o
A diferencia del m´todo de bisecci´n, no hay una medida de
e
oen cu´nto se mejora cada aproximaci´n.
a
o
En general, es m´s r´pido que el m´todo de bisecci´n cuando
a a
e
o
parte de una buena aproximaci´n.
o
Hay problemas cuando f (xo ) = 0; es decir, cuando la
tangente es horizontal.
Computaci´n / Matem´ticas
o
a

An´lisis Num´rico: Soluciones de ecuaciones en una variable
a
e

Ecuaciones polinimiales P(x) = 0

Un polinomio de grado...