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Univ. de Alcal´ de Henares
a
C´lculo. Segundo parcial.
a

Ingenier´ de Telecomunicaci´n
ıa
o
Curso 2004-2005

L´
ımites y continuidad
1.

L´
ımite de funciones de dos variables
Hasta ahora hemos evitado entrar en la cuesti´n de qu´ significa el s´
o
e
ımbolo
l´
ım

(x,y)→(x0 ,y0 )

que aparece en la noci´n de diferenciabilidad,porque no quer´
o
ıamos que los detallest´cnicos de
e
la definici´n de l´
o
ımite oscurecieran la discusi´n sobre la diferenciabilidad. Pero ha llegado el
o
momento en que no podemos demorar m´s esa cuesti´n. Por esa raz´n esta secci´n se dedica a
a
o
o
o
la definici´n y c´lculo de l´
o
a
ımites en funciones de dos variables, con la vista puesta en nuestro
objetivo de entender plenamente la definici´n de diferenciabilidad.
oBas´ndonos en lo que hemos aprendido en el c´lculo de una variable, est´ bastante claro lo
a
a
a
que queremos decir cuando escribimos
l´
ım

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = L

Cuando decimos que el l´
ımite de f en (x0 , y0 ) es L, estamos diciendo que si se calcula f en un
punto (x, y) cercano a (x0 , y0 ), se obtendr´ un valor que tal vez no sea L, pero que estar´ muy
a
a
cerca de L.Estar´ tanto m´s cerca, cuanto m´s acerquemos (x, y) a (x0 , y0 ).
a
a
a
Como puede verse, en esta descripci´n del l´
o
ımite la idea central es la de distancia. Y adem´s
a
es preciso se˜alar que no hay ninguna diferencia entre esta idea de l´
n
ımite y la que se utiliza en
funciones de una variable.
Si queremos ser m´s precisos, y obtener una definici´n rigurosa, la mejor forma depensar en
a
o
esta definici´n de l´
o
ımite consiste probablemente en centrarnos en la idea de control del error: Nos
fijamos un objetivo de error m´ximo tolerable, dado por el n´mero ε. Debemos pensar por tanto
a
u
que ε ser´ un n´mero peque˜o, algo como 0,001 si deseamos cometer un error de mil´simas,
a
u
n
e
o como 0,000001 si el tama˜o del error m´ximo debe ser del orden demillon´simas. Vamos a
n
a
e
medir entonces el error que se comete al calcular f (x, y) en lugar de f (x0 , y0 ), y queremos que
ese error sea menor que ε. Es decir, queremos que sea
|f (x, y) − f (x0 , y0 )| < ε
Naturalmente, no podemos esperar que ´sto ocurra sea cual sea el valor de (x, y) que se utilice.
e
Para que el error sea peque˜o, debemos tomar (x, y) cerca de (x0 , y0 ). Y as´ llegamos ala versi´n
n
ı
o
casi definitiva de la definici´n de l´
o
ımite:
Definici´n 1.1 (Definici´n provisional de l´
o
o
ımite). Decimos que el l´
ımite de f en (x0 , y0 ) es L
si, sea cual sea el error m´ximo ε que hayamos fijado, se puede garantizar que se cumple
a
|f (x, y) − f (x0 , y0 )| < ε
cuando (x, y) est´ suficientemente cerca de (x0 , y0 ).
a
1

Para convertir ´sto en unadefinici´n formal debemos precisar la parte que aparece subrayada
e
o
en esta definici´n. ¿Cu´les son los (x, y) que est´n “suficientemente cerca” de (x0 , y0 )? Pues
o
a
a
todos aquellos cuya distancia a (x0 , y0 ) es peque˜a. Una forma de garantizar que esa distancia
n
sea peque˜a es tomar un n´mero δ, peque˜o, y pedir que se cumpla
n
u
n
d ((x, y), (x0 , y0 )) < δ
Si por ejemplo tomamos δ =0,0001, estamos pidiendo que la distancia entre (x, y) y (x0 , y0 ) sea
menor que una diezmil´sima. El n´mero δ es la pieza que nos faltaba en nuestra definici´n de
e
u
o
l´
ımite:

Definici´n 1.2 (Definici´n de l´
o
o
ımite). Decimos que el l´
ımite de f en (x0 , y0 ) es L si, sea cual
 sea el error m´ximo ε que hayamos fijado, se puede elegir un n´mero δ tal que, para todos los
a
u
 (x, y) que cumplen


d ((x, y), (x0 , y0 )) < δ


 se puede garantizar que se cumple




|f (x, y) − f (x0 , y0 )| < ε



 En lenguaje formal:

∀ε > 0 ∃δ : d ((x, y), (x0 , y0 )) < δ ⇒ |f (x, y) − f (x0 , y0 )| < ε
Hay que pensar en esta definici´n como una especie de contrato: si t´ me dices el error ε que
o
u
est´s dispuesto a admitir, yo me comprometo...