Todo de amor

An´lisis Matem´tico III
a
a
2013, FaMAF - UNC

´
Practico 9 – Campos Vectoriales: continuaci´n
o

1. Sea h(x, y, z) = x + y + z y sea S la porci´n del plano z = 2x + 3y para la cual
o
x ≥ 0, y ≥ 0 y x + y ≤ 2.
(a) Calcular
h dS proyectando S dentro del plano x, y. Dibujar la proyecci´n.
o
S

(b) Calcular

h dS proyectando S en el plano y, z. Dibujar la proyecci´n y sus
o
Sbordes.
e
2. Calcule el flujo del campo vectorial F = (y, −x, 4) hacia afuera ( n · k ≥ 0) y a trav´s
de la superficie S, determinada por z = 1 − x2 − y 2 que se encuentra en el primer
octante.
3. Calcule el flujo del campo vectorial F = (x, y, z) hacia afuera y a trav´s de la superficie
e
S, determinada por 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c.
4. Calcule el flujo del campo vectorial F = (x, y, z2 ) hacia afuera ( n · k ≥ 0) y a trav´s
e
de la superficie determinada por r = (u cos v, u sin v, u) (0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ π).
5. Calcule la div y la rot de los siguientes campos vectoriales:
(a) F = (y, z, x).
(b) F = (r, sin θ, 0), donde (r, θ) son las coordenadas polares en el plano.
6. Demostrar que las siguientes identidades valen para cualquier de los campos F, G o
funci´n real ϕcontinuamente diferenciable.
o
(a) ∇ · (∇ × F) = 0,
(b) ∇ × (∇ϕ) = 0.
(c) ∇ × (F × G) = (∇ × F) · G) − F · (∇ × G) (use que para vectores arbitrarios
a, b y c vale que a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b).
7. Demuestre que si a y b son vectores constantes
(a) ∇(a · r) = a
(b) ∇ · r = 3.
(c) ∇ × ((a × r) × b) = −b × a
8.

(a) Demostrar que si ϕ(x, y, z) = (x2 + y 2 + y 2 )−1/2 entonces ∇ ·(∇ϕ)(x) = 0 para
todo (x, y, z) ̸= 0.
(b) Demostrar mediante un ejemplo que es posible que ∇ · (∇ϕ)(x) ̸= 0, para
alguna funci´n ϕ dos veces continuamente diferenciable.
o

9. Verificar el Teorema de la divergencia para el cubo con centro en el origen y caras en
el plano x = ±1, y = ±1, z = ±1 en los siguientes casos:
(a) F(x, y, z) = (2, 3, 4),
(b) F(x, y, z) = (x − y, y − z, x − y).10. Comparar ambas integrales
∇ · F dV

F · dS

y

D

S

siendo F(x, y, z) = (x + y, y + z, z + x) y donde S acota la regi´n dada por
o
(a) 0 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2 ,
0 ≤ x2 + y 2 ≤ 4.
(b) −4 + x2 + y 2 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2 , 0 ≤ x2 + y 2 ≤ 4.
(c) 0 ≤ x2 + y 2 ≤ 9,
0 ≤ z ≤ 5.
2
2
2
2
(d) 0 ≤ x + y + z ≤ a .
1

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2013, FaMAF - UNC

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Practico 9 –Campos Vectoriales: continuaci´n
o

F · dS sobre la esfera de radio 1 y centro

11. Usar el Teorema de Gauss para calcular
S

en el origen de R3 con normal hacia afuera si F es
(a) F(x, y, z) = (x2 , y 2 , z 2 ),
(b) F(x, y, z) = (xz 2 , 0, z 3 ).
12. Usar el Teorema de Gauss para calcular el flujo del campo vectorial
A = (2xy + x2 , 2 + yz, 2z 4 ),
a trav´s de la parte de la superficiedeterminada por x2 + (y − 1)2 + z 2 = 4 para y ≥ 0
e
con el vector normal elegido tal que n = j en el punto (0, 3, 0).
13. Un campo vectorial tiene el siguiente potencial:
Φ = x2 + y 2 + z 2 − (x2 + y 2 + z 2 )2
¿A trav´s de que superficie cerrada S el flujo de este campo vectorial es m´ximo?
e
a
Calcule este flujo m´ximo.
a
14. Verificar el Teorema de Stokes para la funci´n F(x, y, z) = (y 2+ z 2 , x2 + z 2 , x2 + y 2 )
o
para las siguientes superficies S con borde C.
(a) S es la superficie de la parte superior del cubo con un v´rtice en (1, 1, 1), centro
e
en el origen y lados paralelos a los ejes, y C la curva intersecci´n de S con el
o
plano x, y.
(b) La superficie S es como en a), con un agujero en la cara de arriba de forma circular cuyas coordenadas cil´
ındricassatisfacen: z = 1, 0 ≤ r ≤ cos θ, −π/2 ≤
θ ≤ π/2.
15. Verificar el Teorema de Stokes para la funci´n
o
F(x, y, z) = (y 2 + z 2 , x2 + z 2 , x2 + y 2 )
para la superficie S con borde C.

√
−1 ≤ x ≤ 1,
−2 ≤ y ≤ 2,
 z = 1 − x2 ,
√
2 , −1 ≤ x ≤ 1,
S:
y = 2,
0 ≤ z ≤ √1 − x

y = −2,
0 ≤ z ≤ 1 − x2 , −1 ≤ x ≤ 1.

z = 0,

x = ±1,
−2 ≤ y ≤ 2,
C:

y = ±2,
−1 ≤ x ≤ 1.
ınea del...