Topología

Cálculo diferencial e
integral

TOPOLOGÍA



ÍNDICE
1.PRÓLOGO

PÁG.2

2.INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGÍA

PÁG.2

3.BREVE HISTORIA DE LA TOPOLOGÍA

PÁG.3

4.CONCEPTOS TOPOLÓLGICOS

PÁG.4

5.PROBLEMA DE LOS PUENTES DE KÖNIGSBERG

PÁG.7

6.TEORÍA DE LOS CUATRO COLORES

PÁG.10

7.BANDA DE MÖBIUS

PÁG.10

8.BOTELLA DE KLEIN

PÁG.12

9.BIBLIOGRAFÍA

PÁG.13

11.PRÓLOGO
Nada más comenzar a buscar información respectiva al tema de topología, nos
percatamos de la gran extensión y complejidad de éste. Por ello, hemos decidido
focalizar nuestro trabajo en puntos concretos de este vasto dominio. Sobre todo,
conceptos clave para la comprensión, ejemplos clarificadores y casos de aplicación en
la vida cotidiana.

2.INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGÍA
LaTopología es la disciplina Matemática que estudia las propiedades en los espacios
topológicos y las funciones continuas. Se interesa por conceptos como proximidad,
tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, compara objetos y los clasifica
entre múltiples atributos de los que destacan conectividad, compacidad, metricidad,
etcétera. Son relevantes las propiedades de los objetos quepermanecen invariables
bajo un estado de deformación constante.
Generalmente conocida como la geometría de la superfície de goma debido a que en
Geometría Euclídea dos objetos son equivalentes cuando podemos transformar el uno
en el otro mediante isometrías como la rotación, traslación, reflexión, etc; en
Topología, dos objetos son equivalentes en sentido más amplio. Han de tener el mismo
númerode partes, de vacios, de intersecciones, etc. En topología se permite doblar,
estirar, encoger, retorcer, etc., siempre que los objetos no se rompan ni se separen las
uniones iniciales. Ejemplo: un triángulo es topológicamente lo mismo que
una circunferencia, ya que podemos transformar uno en otra de forma continua, sin
romper ni pegar. Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmentoya que
habría que cortarla en algún punto. Ésta es la razón por la que se llama la geometría de
la superfície de goma, porque es el estudio de la Geometría sobre una superfície
elástica que puede contraerse y estirarse.
La Topología no trata sólo de objetos y conceptos geométricos; es la Geometría la que
trata sólo con un cierto tipo de objetos topológicos. En muchos casos es imposiblerepresentar en una imagen los problemas topológicos. Intentar visualizar los conceptos
es un error frecuente entre principiantes y legos en Topología. Se nutre también de
conceptos cuya inspiración se encuentra en el Análisis matemático. Se puede decir que
casi la totalidad de los conceptos e ideas de esta rama son conceptos e ideas
topológicos.

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3.BREVE HISTORIA DE LA TOPOLOGÍAHistóricamente, las primeras ideas topológicas conciernen al concepto de límite y al
de completitud de un espacio métrico, y se manifestaron principalmente en la crisis de
los inconmesurables descubiertos por Pitágoras ante la aparición de números reales no
racionales. El primer acercamiento concreto al concepto de límite y también al
de integral aparece en el método de exhaución de Arquímedes. Laaparición del
Análisis Matemático en el siglo XVII puso en evidencia la necesidad de formalizar el
concepto de proximidad y continuidad, y la incapacidad de la Geometría para tratar
este tema. Fue precisamente la fundamentación del Cálculo Infinitesimal, así como los
intentos de formalizar el concepto de variedad en Geometría lo que llevó a la aparición
de la Topología, a finales del siglo XIX yprincipios del XX.
El término topología lo acuña por primera vez Johan Bennedict Listing, en 1836 en una
carta1 a su antiguo profesor Müller, y posteriormente en su libro Vorstudien zur
Topologie (Estudios previos a la Topología), publicado en 1847. Anteriormente se la
denominaba analysis situs. Maurice Fréchet introdujo el concepto de espacio
métrico en 1906.
El origen de la Topología como...