Topología

Universidad Nacional Escuela de Matemática Introducción a la Topología

II Lista de ejercicios de Topología
Instruccuiones: De esta lista presente 10 ejercicios, de las partes que tienen a,b,c,..haga una de ellas. Puede trabajar en grupos. 1. Sea (X; ) un espacio topológico. Si A, B son dos subconjuntos de X, muestre que en general no es cierto que Cl(A \ B) = Cl(A) \ Cl(B): 2. Sea (X; ) unespacio topológico. Halle Cl(X); X o ; F r(X); Ext(X); X 0 y también los conjuntos correspondientes para ?: 3. Sea X cualquier conjunto y sean y > dos topologías en X. Se dice que es más …na que >; oque > es más gruesa que si > es decir si cada > abierto es también un conjunto abierto. Suponga que es más …na que >: Pruebe que si A X, y si denotamos Cl(A) , como la clausura de A con respecto a latopología y Cl(A)> con respecto a la topología >; pruebe que (a) Cl(A) (b) Ao > Ao Cl(A)>

(c) Halle relaciones entre los demás conjuntos derivados topológicamente de A, es decir frontera, exterior,puntos de acumulación.

4. Sea X cualquier conjunto y sean y > dos topologías en X. Determine de cada una de las siguientes condiciones, si es más …na que > o al revez. (a) F r(A) (b) Ext(A) F r(A)>Ext(A)> X:

5. Suponga que X es un conjunto con la topología discreta y sea A Encuentre los conjuntos topológicamente asociados con A, Cl(A); Ao ; F r(A); Ext(A); A0 : 1

6. Sea R2 con latopología inducida por la métrica pitagórica. Sea A = f(x; y) : x2 + y 2 < 1 con x; y 2 Qg: Halle (a) Cl(A); Ao ; F r(A); Ext(A); A0 : (b) F r(Cl(A)) y Cl(F r(A)) (c) F r(A0 ) y [F r(A)]0 (d) Cl(Ao ) y[Cl(A)]o (e) Haga lo mismo para A = f(x; y) : y = 0g 7. Determine si es falso o verdadero las siguientes condiciones para subconjuntos A; B de un espacio topológico (a) (A0 )0 = A0 (b) F r(F r(A)) = Fr(A) (c) Ext(Ext(A)) = Ao (d) F r(A [ B) = F r(A) [ F r(B) (e) F r(A) es siempre cerrado 8. Sea (X; ) un espacio topológico y sea f : (X; ) ! Y una función. De…na un subconjunto V de Y como abierto,...