TopologiaM3

Clase 3, Subespacio topol´ogicos
Profesor Jos´e Aguayo
Topolog´ıa
Licenciatura y Magister en Matem´
atica, Primer Semestre 2013

Profesor Jos´
e Aguayo

Clase 3, Subespacio topol´
ogicos

Ejercicio
Sea (X , T ) un espacio topol´
ogico y sea Y ⊂ X . Denotemos por
TY a la siguiente colecci´
on de subconjuntos:
TY = {Y ∩ U : U ∈ T }
Se afirma que TY es una topolog´ıa para Y . En efecto, como
X , ∅∈ T se tiene que Y = Y ∩ X ∈ TY , ∅ = Y ∩ ∅ ∈ TY .
Suponga que {Aα }α∈I una familia de elementos de TY , luego para
cada α ∈ I , Aα = Y ∩ Uα , para alg´
un Uα ∈ T . Ahora,
∪α∈I Aα = ∪α∈I (Y ∩ Uα ) = Y ∩ (∪α∈I Uα )
Como T es una topolog´ıa en X , tenemos que U = ∪α∈I Uα ∈ T y,
por tanto, ∪α∈I Aα = Y ∩ U ∈ TY .

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Ejercicio
[Cont. del ejer.]Finalmente, supongamos que {Ai }ni=1 es una familia finita de
elementos de TY , luego para cada i = 1, 2, . . . , n, existe Ui ∈ T tal
que Ai = Y ∩ Ui . Ahora,
∩ni=1 Ai = ∩ni=1 Y ∩ Ui = Y ∩ (∩ni=1 Ui )
Luego, nuevamente, como T es una topolog´ıa en X , tenemos que
U = ∩ni=1 Ui ∈ T y, por tanto, ∩ni=1 Ai = Y ∩ U ∈ TY .
La topolog´ıa TY es la mas natural que podemos construir en Y .

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Definici´on
Sea (X , T ) un espacio topol´
ogico y sea Y ⊂ X . La topolog´ıa
TY = {Y ∩ U : U ∈ T }
se llamar´a topolog´ıa de subespacio. Con esta topolog´ıa, Y se
llamar´a subespacio topol´
ogico o, simplemente, subespacio de X . A
los conjuntos abierto Y ∩ U los llamaremos trazas.

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EjercicioSuponga que B es una base para la topolog´ıa T en X . Mostrar que
BY = {Y ∩ B : B ∈ B}
es una base para la topolog´ıa de subespacio en Y .

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Observaci´on
1. Notemos que un subconjunto que no es un conjuntos abierto
en un espacio topol´
ogico (X , T ) puede ser abierto en algun
subespacio. As´ı, si A es abierto en Y , diremos que ”A es
abiertorelativo a Y ”. Por ejemplo, el intervalo [0, 1) no es
abierto en R, sin embargo es abierto en Y = [0, 3] , pues
[0, 1) = [0, 3] ∩ (−1, 1) .
2. La existencia del abierto U de X en la traza A = Y ∩ U, no es
u
´nico. Notar que [0, 1) = [0, 3] ∩ (−1/2, 1) .
3. Si, en particular, Y es abierto en X , esto es, Y ∈ T , entonces
A es abierto relativo a Y si, y s´
olo si, A es abierto relativo a
X.
4. Enun espacio topol´
ogico X , un subconjunto Y puede admitir
una gran gama de topolog´ıas y una de ´estas ser´a la topolog´ıa
de subespacio que resulta ser la m´as natural.

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Observaci´on
5. Sea X y Z dos espacios topol´
ogicos y sean X1 un subespacio
de X y Z1 un subespacio de Z , respectivamente. Como
sabemos, dentro de todas las posiblestopolog´ıas en X × Z ,
tenemos la topolog´ıa producto que la denotaremos por
Tpr = Tpr (X × Z ). Por otro lado, denotemos por TX1 la
topolog´ıa de subespacio en X1 y por TZ1 la topolog´ıa de
subespacio en Z1 . Consideremos el subonjunto X1 × Z1 de
X × Z.
En X1 × Z1 podemos distinguir dos topolog´ıa:
1
2

la topolog´ıa TX1 ×Z1 como subespacio de X × Z , ; y
la topologia producto inducido por losespacios topol´ogicos
(X1 , TX1 ) y (Z1 , TZ1 ) , que la denotaremos por Tpr (X1 × Z1 ).

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Teorema
Las topolog´ıas TX1 ×Z1 y Tpr (X1 × Z1 ) coinciden en X1 × Z1 .
Proof.
Recordemos que
TX1 ×Z1 = {(X1 × Z1 ) ∩ W : W ∈ Tpr }
y que la topolog´ıa producto Tpr (X1 × Z1 ) tiene como base a
Bpr = {S × T : S ∈ TX1 ∧ T ∈ TZ1 } .
Como
S × T = (X1 ∩ U)× (Z1 ∩ V ) = (X1 × Z1 ) ∩ (U × V )
para alg´
un U abierto en X y V para alg´
un abierto en Z y como
U × V es un b´asico de la topolog´ıa producto de X × Z ,
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Proof.
concluimos que
{S × T : S ∈ TX1 ∧ T ∈ TZ1 } ⊂ TX1 ×Z1 .
Por un resultado que dice que ”si B es una base y T es una
topolog´ıa tal que B⊂ T , entonces T (B) ≤ T ”,...