torricelli

Introduccion
El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli que estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad.   A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. "La velocidad de un líquido en una esfera abierta, por un orificio, es la quetendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio"
Es una expresión matemática que nos indica la velocidad de salida de un líquido a través de un orificio practicado en la pared de un recipiente abierto a la atmósfera. La forma explícita es: 


El teorema de Torricelli o principio de Torricelli es una aplicacióndel principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio.
La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desdeel nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio.
Matemáticamente:

Donde:
es la velocidad teórica del líquido a la salida del orificio
es la velocidad de aproximación o inicial.
es la distancia desde la superficie del líquido al centro del orificio.
es la aceleración de la gravedad.
Para velocidades de aproximación bajas, la mayoría de los casos, la expresión anteriorse transforma en:

Donde:
es la velocidad real media del líquido a la salida del orificio
es el coeficiente de velocidad. Para cálculos preliminares en aberturas de pared delgada puede admitirse 0,95 en el caso más desfavorable.
Tomando =1

Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a laviscosidad del fluido y otros factores tales como la tensión superficial, de ahí el significado de este coeficiente de velocidad.


APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES.

Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. Laforma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua. Considere un recipiente lleno de agua hasta una altura h. Suponga que el agua fluye a través de un orificio de sección transversal “a”, el cual está ubicado en la base del tanque. Se desea establecer la altura de líquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse.
Sea h(t) la altura delíquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) el volumen de agua del tanque en ese instante. La velocidad v del agua que sale a través del orificio es:

Donde g es la gravedad. La ecuación (1) representa la velocidad que una gota de agua adquiriría al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero.
En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre unchorro de agua en un orificio, por lo que se tendrá la ecuación (2)

Donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1 (0 < c < 1).
OBSERVACIÓN
Cuando el valor del coeficiente de descarga c no se indica, se asume que c = 1
Según la Ley de Torricelli, la razón con la que el agua sale por el agujero (variación del volumen de líquido en el tanque respecto del tiempo) se puedeexpresar como el área “a” del orificio de salida por la velocidad v del agua drenada, esto es: (ecuación 3)

Esto sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (3)

Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura h, aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene

Derivando respecto de t y aplicando el teorema fundamental del cálculo...