TP nº 4 Integrales - MII Online -

Matemu00e1tica II - Curso on line 2012.
Unidad 3 – (2ªparte) - Aplicaciones de las Integrales
TP Nº4 - Resolución
1) La gráfica dada a continuación, nos
y

muestra una función lineal que inter1
seca al eje "x" en x 0   2 y al eje "y"

en y 0  1. Si el área comprendida entre ella y el eje de abscisas es A  16

1

A=16

¿Cuál debe ser el valor, si existe del
-1/2

número "k"?k

x

Nota: Éste ejercicio se puede resolver sin el uso de integrales porque la función es lineal, pero la idea
del problema es hacerlo mediante ellas. Corroborar que efectivamente, resolviéndolo geométricamente, con el área de un triángulo, es la correcta.

Resolución: Previamente vamos a tener que encontrar la ecuación de la recta. El cálculo
de la misma es casi inmediato porque laordenada al origen es un dato que aporta el gráfico y visualmente se puede obtener la pendiente. Siendo la recta dada por la expresión:

y  mx  b



y  mx  1

1
Como además interseca al eje "x" en x 0   2 resulta:

 

1
0  m.  2  1  m  2 .

De donde la función lineal viene dada por la fórmula: y  2x  1
Vamos a comenzar resolviendo el problema geométricamente parasaber a qué resultado
debemos llegar. Ello solamente es factible porque la figura resultante es poligonal, en este
caso triangular, sino no podríamos haberlo hecho.
El área de un triángulo es: A 

b .h
2

1
En nuestro caso la base es: b  2  k

La altura del triángulo es h  f k  

2.k  1

 
reemplazan do
en la recta

Ahora debemos plantear la igualdad entre el área yesto último.

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TP Nº4 - Página 1 de10
Resolución

A

b .h

 16 

2

1
2 `k . 2k  1



2

1
32  k  2  2k 2  k



2k 2  2k  63  0
2

Quitando las fracciones, para simplificar los cálculos, resulta:

4k 2  4k  63  0
Resolviendo esta ecuación cuadrática tenemos que:

k

 4  16  4 . 4 .  63

 4  32

8



8

k1 

7
2

k2   9
2

ó

Solamente es válida la primera respuesta por la naturaleza del problema.

Si lo hacemos mediante integrales llegamos, obviamente a lo mismo:
k

A

 2x  1. dx



 16  x 2  x



k
 12

1
2

Entonces: k 2  k 

63
4

0





 

 k2  k 

1
4



1
1
 2  k2  k  4

4k 2  4k 63  0

Esta ecuación es la misma que llegamos anteriormente, con lo cual concluimos que:

k

7
2

2) Representar gráficamente y calcular mediante integrales el área limitada por las curvas de ecuaciones: y 

1
2

x2

y

;

1
8

x2

;

y2

en el primer cuadrante.

Resolución: Para poder calcular el área, es necesario saber dónde se intersecan las parábolas con larecta y  2 .
Igualando tenemos que:
y

1
2

x2  2



x2  4



x  2 .

De estas dos respuestas solamente nos
resulta válida x  2 porque el enunciado

2

1
y  2 x2

2

Área solicitada

y x
1
8

nos pide en el primer cuadrante.

2

En forma análoga:
1
8

4

x

x2  2



x 2  16 

x4

que por la misma consideración resulta:

x4Matemática II - On line
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Resolución

En la gráfica indicada anteriormente, aproximadamente está en escala, resulta evidente
que, el cálculo del área necesita de dos integrales. Una de ellas debe ser en 0 ; 2 y la otra
en 2; 4
2

Así tenemos que: A 

4

1
8

2

0

Integrando resulta: A 
Operando resulta A 

2

4

  x    x.dx   2   x .dx    x . dx   2  x . dx
2

1
2

1
8

2

2

1
8

x

3

2
0

3
8

2

1
8

0

1
  2x  24 x 3 





4



 

2

2

1
 1 8  8  4  3
3



2

8
3

3) Desde una plataforma ubicada a 4m de altura se arroja verticalmente y hacia arriba,
en el vacío un objeto y en ese mismo instante se presiona...