trabajo colaborativo 1 - algebra lineal

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGICAS E INGENIERIA
ALGEBRA LINEAL

TRABAJO COLABORATIVO 1

Bogotá
Abril de 2013

INTRODUCCION
Con este ejercicio, desarrollado de manera grupal, se contemplan temas como
determinantes, operaciones con vectores, matrices, operaciones con matrices, sistemas
de ecuaciones lineales y los diferentes métodospara resolverlos, rectas, planos,
espacios vectoriales.
De igual manera con el uso de una herramienta computacional adecuada (MAPLE, o
cualquier software libre) se verifica el resultado de obtener A-1 a partir de una matriz
propuesta.
Finalmente se resuelve, empleando determinantes, el método de encontrar la inversa
de una matriz.

2

Objetivos

-

Analizar y desarrollar los distintosplanteamientos hechos con respecto a las
temáticas abordadas en la primera unidad de curso Algebra Lineal.

-

Crear un espacio para lograr una interacción grupal en el desarrollo de la
actividad colaborativa.

-

Incentivar la colaboración como herramienta indispensable de trabajo que nos
llevara a alcanzar las metas propuestas en la unidad 1 del curso de Algebra
Lineal

3

1.Dados los siguientes vectores dados en forma polar:
a. │u│= 5; ϴ = 135°
b. │v│= 3; ϴ = 60°
Realice analíticamente, las operaciones siguientes:
1.1. 2u + v
1.2. v - u
1.3 3u – 4v
Desarrollo
1. Componentes vectoriales
b. │v│= 3; ϴ = 60°
a. │u│= 5; ϴ = 135°
u = 5(cos135°)i + 5(sen135°)j
u=

√

i+

√

v = 3(cos60°)i + 3(sen60°)j
v= ( )

)j

u = (-3.53, 3.53)

√

v = (1.5,2.59)

El vector u se encuentra en el segundo cuadrante y el vector v en el primer cuadrante
1.1. 2u + v


2(-3.53, 3.53) + (1.5, 2.59)
(-7.06, 7.06) + (1.5, 2.59)
(-7.06 + 1.5, 7.06 + 2.59)

2u + v = (-5.56, 9.65)
1.2. v - u


=>

se encuentra en el segundo cuadrante

=> u = (-3.53, 3.53);

v = (1.5, 2.59)

(1.5, 2.59) - (-3.53, 3.53)

4

(1.5 + 3.53, 2.59 – 3.53)
v -u = (5.03, -0.94)
1.3 3v – 4u


=>

se encuentra en el cuarto cuadrante

=> u = (-3.53, 3.53);

v = (1.5, 2.59)

3 (1.5, 2.59) - 4(-3.53, 3.53)
(4.5, 7.77) – (-14.12, 14.12)
(4.5 + 14.12, 7.77 – 14.12)

3u – 4v = (18.62, -6.35) =>

se encuentra en el cuarto cuadrante

2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:
2.1. u = 2i + 9j y v = -10i - 4j
2.2. w = -2i - 3j y u= -7i – 5j
2.1. u = 2i + 9j y v = -10i - 4j
u = (2, 9); v = (-10, -4)
cosө =
cosө =

=
√

√

=

√

=

√
√

√

=

√

√

=

√

= -0.5639

Ө = cos-1(-0.5639) = 124.32°
2.2. w = -2i - 3j y u = -7i – 5j
w = (-2, -3); u = (-7, -5)
cosө =
cosө =

=
√

√

=

√

=

√

√

=

√

√

= 0.9349

Ө = cos-1(0.9349) = 20.77°
3. Dada la siguientematriz, encuentre A-1 empleando para ello el método de Gauss –
Jordán. (Describa el proceso paso por paso).

-5 5 5
A=

7 0 -8
1 2 -3
5

Escribo la Matriz y al lado su respectiva inversa así

-5 5 5 │ 1 0 0
A = 7 0 -8 │ 0 1 0
-1 2 -3 │ 0 0 1
Ahora voy a realizar una serie de operaciones elementales para encontrar la inversa de
la matriz dada, así.
A la fila 3 (f3) la multiplico por 5y le sumo la fila 1 (f1). Para buscar un cero (0) en la
posición (3,1)
f3 = 5f3 + f1 (f1 no cambia), dando como resultado

Operación
-5 5 5 │ 1 0 0
A = 7 0 -8 │ 0 1 0
0 15 -10│ 1 0 5

5(1 2 -3 │ 0 0 1) = 5 10 – 15 │ 0 0 5
+f1 = -5 5 5 │ 1 0 0
_______________
Sumando => f3

= 0 15 10 │ 1 0 5

Ahora busco un cero (0) en la posición (2,1) de la siguiente manera, a la fila 2 (f2) lamultiplico por 5 y le sumo 7 veces la fila 1 (f1),

f2 = 7f1 + 5f2

(f1 no cambia)

-5 5 5 │ 1 0 0
A = 0 35 -5│ 7 5 0
0 15 -10│ 1 0 5

Operación

7(-5 5 5 │ 1 0 0) = -35 35 35 │ 7 0 0
5(7 0 -8 │ 0 1 0 ) = 35 0 -40 │ 0 5 0
_______________
Sumando => f2
= 0 35 -5 │ 7 5 0

En este paso voy a buscar un cero (0) en la posición (1,3) con la siguiente operación, a
la fila 1 (f1) la...