Trabajo Colaborativo

TRABAJO COLABORATIVO No. 1
PUNTO 1. En cada uno de los problemas, determine el orden de la ecuación diferencial dada; diga también si la ecuación es lineal o no lineal:
1. x2d2ydx2+xdydx+2y=sinxEs una ecuación diferencial lineal de segundo orden.

2. 1+y2d2ydx2+ xdydx+y=ex

Es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden.
PUNTO 2. En cada uno de los problemas, verifiqueque las funciones que se dan son una solución de la ecuación diferencial:
1. y''-y=0; y1x=ex, y2x=coshx

Si y=y1x=ex, entonces:
y'=ex
y''=ex

Y sustituyendo en la ecuación diferencial,obtenemos:

y''-y=0
ex-ex=0
0=0
Si y=y2x=coshx, entonces:
y'=sinhx
y''=coshx

Y sustituyendo en la ecuación diferencial, obtenemos:

y''-y=0
coshx-coshx=0
0=0

2. y''+2y'-3y=0; y1x=e-3x,y2x=ex

Si y=y1x=e-3x, entonces:
y'=-3e-3x
y''=9e-3x

Y sustituyendo en la ecuación diferencial, obtenemos:

y''+2y'-3y=0
9e-3x+2-3e-3x-3e-3x=0
9e-3x-6e-3x-3e-3x=0
0=0
Si y=y2x=ex, entonces:y'=ex
y''=ex

Y sustituyendo en la ecuación diferencial, obtenemos:

y''+2y'-3y=0
ex+2ex-3ex=0
3ex-3ex=0
0=0
PUNTO 3. Hallar la solución general de la ecuación:
1. xy'+2y=sinx, x>0xy'+2y=sinx
y'+2yx=sinxx
y'+2yx-sinxx=0
dy+2yx-sinxxdx=0

Tomando a:
Px,y=2yx-sinxx Qx,y=1

Tenemos que:
Py-QxQ=2x-01=2x

Por tanto, la ecuación diferencial tiene el factor integrante:μ=e2xdx
μ=e2lnx
μ=x2

Multiplicando por μ(x), la ecuación queda así:

x2dy+x22yx-sinxxdx=0

x2dy+x2y-sinxdx=0

Ahora, como Fy=e2xdx=x2, integrando respecto a y:

F=x2y+φx

Y derivandorespecto a x, obtenemos:

Fx=2xy+φ'x
Pero tenemos que:
Fx=2xy-xsinx
Entonces:
Fx=2xy+φ'x=2xy-xsinx
Luego,
φ'x=-xsinx
Integrando obtenemos:
φx=xcosx-sinx
Por tanto,
F=x2y+xcosx-sinx

Y comoFx,y=C, entonces:

C=x2y+xcosx-sinx

Y despejando y, obtenemos la solución general:

y=sinxx2-cosxx+Cx2

2. y'+2xy=2xe-x2

y'+2xy=2xe-x2
y'+2xy-2xe-x2=0
dy+2xy-2xe-x2dx=0

Tomando a:...