Trabajo De Cálculo Multivariable
Páginas: 5 (1146 palabras)
Publicado: 6 de agosto de 2012
Crecimiento óptimo en tiempo discreto
Un ejemplo simple
Suponemos (i) utilidad logarítmica, (ii) función de producción, (iii) tasa de depreciación
= 1, (iv) la población no crece (n=0).
La versión recursiva de este problema está dada por la siguiente ecuación de Bellman:
Notar que la funciónde la ecuación de Bellman del problema (estacionario) general es en este caso:
Entonces, lacondición de Euler:
Es en este caso particular:
Lo escribimos en términos de la función de política:
¿Cómo resolver la ecuación funcional? Conjeturar una solución y luego verificar. En este caso, se sugiere:
Sustituyendo en la ecuación de Euler:
Entonces, si la conjetura propuesta verifica la ecuación de Euler.
La ecuación de movimiento del capital es entonces:
El capitalconverge a un estado estacionario definido como:
La condición de transversalidad en el problema (estacionario) general era:
En este ejemplo particular esto es:
Esta condición se verifica ya que:
Crecimiento óptimo en tiempo discreto, el caso general
Supuestos:
1) F(K,L) es creciente, cóncava y hay rendimientos constantes a escala, siendo
2) Se cumplen las condiciones de Inada:3) La función de utilidad es diferenciable y estrictamente cóncava.
4) Población no crece (n=0)
Escribimos el problema de crecimiento óptimo como un problema de programación dinámica:
La ecuación de Euler es:
Reordenando términos:
En el óptimo, la relación de utilidades marginales de consumo de hoy y de mañana debe igualar a la tasa a la cual es posible transformar bienesde hoy en bienes de mañana.
La condición de transversalidad es:
La ecuación de Euler implica que en el estado estacionario:
Es decir que el capital per capita del estado estacionario solo depende del factor de descuento, la tecnología y la tasa de depreciación del capital.
Siendo cóncava, es única. Es inmediato que la condición de transversalidad se verifica en el estado estacionario. Sedemuestra que el sistema converge en forma monótona hacia
Crecimiento en el equilibrio competitivo en tiempo discreto
Mostraremos que el equilibrio competitivo coincide con la solución del problema de crecimiento óptimo
Las familias
Economía integrada por gran número de familias idénticas (“representativas”). La población no crece. Las familias resuelven:
Donde: a (t) son losactivos que tiene la familia; r (t) es la tasa de retorno de esos activos y w (t) es el ingreso laboral.
La restricción presupuestal de flujo no es suficiente: las familias podrían endeudarse indefinidamente y no estarían entonces restringidas en su consumo. Derivamos una condición “final” que impone un límite al consumo y establece equivalencia entre la versión secuencial y la recursiva:
En elperíodo siguiente:
Sustituyo en la restricción del primer período:
Reordeno términos:
Repitiendo:
Si imponemos la condición de que “no hay juego de Ponzi”:
Tenemos:
Es decir que la suma descontada del consumo es menor o igual a los activos iniciales más la suma descontada de ingresos laborales.
Necesitamos entonces la restricción de que no hay juego de Ponzi para que larestricción presupuestal de flujo imponga efectivamente una restricción al consumo y sea equivalente a una restricción presupuestal a lo largo de la vida o intertemporal.
Caracterizamos la regla de consumo y ahorro óptima de las familias:
Ecuación de Bellman:
Analizamos las condiciones necesarias y suficientes para un óptimo: (i) Euler y (ii) Transversalidad.
(i) La ecuación de Euler es:Notar: la tasa marginal de transformación para la familia es simplemente 1 más la tasa de interés.
La regla de consumo entonces es:
Es decir que la pendiente del consumo es independiente de la riqueza inicial y del sendero de ingresos laborales.
(ii) La condición de transversalidad
En el óptimo, debe verificarse que:
De la condición de Euler:
Debería entonces cumplirse que:...
Un ejemplo simple
Suponemos (i) utilidad logarítmica, (ii) función de producción, (iii) tasa de depreciación
= 1, (iv) la población no crece (n=0).
La versión recursiva de este problema está dada por la siguiente ecuación de Bellman:
Notar que la funciónde la ecuación de Bellman del problema (estacionario) general es en este caso:
Entonces, lacondición de Euler:
Es en este caso particular:
Lo escribimos en términos de la función de política:
¿Cómo resolver la ecuación funcional? Conjeturar una solución y luego verificar. En este caso, se sugiere:
Sustituyendo en la ecuación de Euler:
Entonces, si la conjetura propuesta verifica la ecuación de Euler.
La ecuación de movimiento del capital es entonces:
El capitalconverge a un estado estacionario definido como:
La condición de transversalidad en el problema (estacionario) general era:
En este ejemplo particular esto es:
Esta condición se verifica ya que:
Crecimiento óptimo en tiempo discreto, el caso general
Supuestos:
1) F(K,L) es creciente, cóncava y hay rendimientos constantes a escala, siendo
2) Se cumplen las condiciones de Inada:3) La función de utilidad es diferenciable y estrictamente cóncava.
4) Población no crece (n=0)
Escribimos el problema de crecimiento óptimo como un problema de programación dinámica:
La ecuación de Euler es:
Reordenando términos:
En el óptimo, la relación de utilidades marginales de consumo de hoy y de mañana debe igualar a la tasa a la cual es posible transformar bienesde hoy en bienes de mañana.
La condición de transversalidad es:
La ecuación de Euler implica que en el estado estacionario:
Es decir que el capital per capita del estado estacionario solo depende del factor de descuento, la tecnología y la tasa de depreciación del capital.
Siendo cóncava, es única. Es inmediato que la condición de transversalidad se verifica en el estado estacionario. Sedemuestra que el sistema converge en forma monótona hacia
Crecimiento en el equilibrio competitivo en tiempo discreto
Mostraremos que el equilibrio competitivo coincide con la solución del problema de crecimiento óptimo
Las familias
Economía integrada por gran número de familias idénticas (“representativas”). La población no crece. Las familias resuelven:
Donde: a (t) son losactivos que tiene la familia; r (t) es la tasa de retorno de esos activos y w (t) es el ingreso laboral.
La restricción presupuestal de flujo no es suficiente: las familias podrían endeudarse indefinidamente y no estarían entonces restringidas en su consumo. Derivamos una condición “final” que impone un límite al consumo y establece equivalencia entre la versión secuencial y la recursiva:
En elperíodo siguiente:
Sustituyo en la restricción del primer período:
Reordeno términos:
Repitiendo:
Si imponemos la condición de que “no hay juego de Ponzi”:
Tenemos:
Es decir que la suma descontada del consumo es menor o igual a los activos iniciales más la suma descontada de ingresos laborales.
Necesitamos entonces la restricción de que no hay juego de Ponzi para que larestricción presupuestal de flujo imponga efectivamente una restricción al consumo y sea equivalente a una restricción presupuestal a lo largo de la vida o intertemporal.
Caracterizamos la regla de consumo y ahorro óptima de las familias:
Ecuación de Bellman:
Analizamos las condiciones necesarias y suficientes para un óptimo: (i) Euler y (ii) Transversalidad.
(i) La ecuación de Euler es:Notar: la tasa marginal de transformación para la familia es simplemente 1 más la tasa de interés.
La regla de consumo entonces es:
Es decir que la pendiente del consumo es independiente de la riqueza inicial y del sendero de ingresos laborales.
(ii) La condición de transversalidad
En el óptimo, debe verificarse que:
De la condición de Euler:
Debería entonces cumplirse que:...
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