Trabajo de fisica 2

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Ley de Gauss
En física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga.
Flujo del campo eléctrico
El flujo (denotado como Φ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a unasuperficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo (ΦE) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.
Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo eléctrico.
La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales ΔS, cada uno de los cualeses lo suficientemente pequeño como para que pueda ser considerado plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores , cuya magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido hacia afuera.
En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, E puede considerarseconstante en todos los puntos de un cuadrado dado.
y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo θ entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.
El flujo, entonces, se define como sigue:
(1)
O sea:
(2)
Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb
Este teorema aplicado al campo eléctrico creado por una carga puntual es equivalente a la ley deCoulomb de la interacción electrostática.

La ley de Gauss puede deducirse matemáticamente a través del uso del concepto de ángulo sólido, que es un concepto muy similar a los factores de vista conocidos en la transferencia de calor por radiación.
El ángulo sólido ΔΩ que es subtendido por ΔA sobre una superficie esférica, se define como:

siendo r el radio de la esfera.
como el área total dela esfera es 4πr2 el ángulo sólido para ‘’toda la esfera’’ es:

la unidad de este ángulo es el estereorradián (sr)
Si el área ΔA no es perpendicular a las líneas que salen del origen que subtiende a ΔΩ, se busca la proyección normal, que es:

Si se tiene una carga "q" rodeada por una superficie cualquiera, para calcular el flujo que atraviesa esta superficie es necesario encontrar para cadaelemento de área de la superficie, para luego sumarlos. Como la superficie que puede estar rodeando a la carga puede ser tan compleja como quiera, es mejor encontrar una relación sencilla para esta operación:

De esta manera ΔΩ es el mismo ángulo sólido subentendido por una superficie esférica. como se mostró un poco más arriba ΔΩ = 4π para cualquier esfera, de cualquier radio. de esta formaal sumar todos los flujos que atraviesan a la superficie queda:

que es la forma integral de la ley de Gauss. La ley de Coulomb también puede deducirse a través de Ley de Gauss. Forma diferencial e integral de la Ley de Gauss
Forma diferencial de la ley de Gauss
Tomando la ley de Gauss en forma integral.

Aplicando al primer termino el teorema de Gauss de la divergencia queda

Comoambos lados de la igualdad poseen diferenciales volumétricas, y esta expresión debe ser cierta para cualquier volumen, solo puede ser que:

Que es la forma diferencial de la Ley de Gauss (en el vacío).
Esta ley se puede generalizar cuando hay un dieléctrico presente, introduciendo el campo de desplazamiento eléctrico . de esta manera la Ley de Gauss se puede escribir en su forma más general comoFinalmente es de esta forma en que la ley de gauss es realmente útil para resolver problemas complejos de maneras relativamente sencillas
Forma integral de la ley de Gauss
Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de carga puede escribirse de la manera siguiente:

donde Φ es el flujo eléctrico, es el campo eléctrico, es un elemento diferencial del área A sobre...
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