Trabajo Mate Derivadas Belka

Derivadas de sumas, productos y cocientes

Formulas:
Derivada de una suma

Derivada de una constante por una función

Derivada de un producto

Derivada de una constante partida por una función

Derivada de un cociente

Ejemplos de derivadas con operaciones de funciones
1:

2:

3:
4:

5:

Derivada de un cociente
La derivada del cociente de dos funciones es iguala la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

Derivada de una constante partida por una función

Ejemplos
1:

2:

3:

4:

METODOS DE INTEGRACION POR PARTES
El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dosfunciones aplicando la fórmula:

Ejemplos:
1:

2: Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

3: Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.

4: Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.5:
1. Solución:

METODOS DE INTEGRACION POR CAMBIO DE VARIABLE
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace elcambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inical:

Ejemplo

Cambios de variables usuales
1.
2.
3.
4.
5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es televado al mínimo común múltiplo de los índices.
6. Si es par:
-------------------------------------------------

7. Si no es par:
-------------------------------------------------

Ejemplos

 Solución
Método a emplear: Integración por cambio de variable.
Desarrollo:
En atención a la teoría expuesta, construir la siguiente igualdad:
u= 2x+6 (1)
Debido a (1), la integral originalse transforma, momentáneamente en:
= (2
Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable original, se debe expresar a dx, en función de du y para ello se:
Deriva ambos miembros de (1) para obtener:
du=2dx
Divide la expresión anterior entre 2, obteniéndose:
(3)
Si en (2), se reemplaza a dx por la expresión obtenida en (3) y además se aplica la propiedad 1de los O.L , se obtiene:
= =
Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Para su solución basta con aplicar la Ecuación 1.1. Así:
=
Devolviendo el CDV, u=2x+6 , se obtiene la respuesta final. Por tanto:

Ejemplo 2
Resolver la siguiente integral:

 
Solución
Método a emplear: Integración por CDV.
Desarrollo:
En atención a la teoría expuesta, construir la siguienteigualdad:
u= 4x -1 (1)
Debido a (1), la integral original se transforma, momentáneamente en:
= (2)
Como la integral a resolver no debe quedar en función de la variable original, se debe expresar a dx, en función de du y para ello se:
· Deriva ambos miembros de (1) para obtener:
du=4dx
  Divide la expresión anterior entre 4, obteniéndose:
(3)
   Si en (2), sereemplaza a dx por la expresión obtenida en (3) y además se aplica la propiedad 1 de los O.L , se obtiene:
= =
    Efectuado el CDV se obtiene una integral inmediata. Aplicando exponente fraccionario y la Ecuación 1.1., se obtiene:
=
    Devolviendo el CDV, u= 4x -1, se obtiene la respuesta final. Por tanto:

Ejemplo 3
Resolver la siguiente integral:

Solución
Método a...