trabajos de la universidad upt

DERIVADAS
(Marcelo, 2009)
Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje X. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante (en rojo de la figura
) que une los puntos
( x0, f(x0 ) ) y ( x0 + h, f(x0 + h) ), tiende a confundirse con la tangente (en azul de la figura) a la curva en el punto (x0,f(x0)).

que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices













x0,f(x0 )), (x0 + h,f(x0 + h)) y (x0 + h,f(x0 )), se verifica:



Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento
de la tangente, es decir, si miras la figura, al hacer que h tienda a cero la línea roja se acerca a la línea azul porlo que:
tg ah tiende a tg a, es decir,
a la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )).
Esto se expresa matemáticamente así:
NOTA: Es importante que entiendas esto, pues es el núcleo por
el que después entenderás otros conceptos,
si no es así, dímelo
Derivada de una función en un punto
Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un puntox0 al

f '(x0 ) (efe prima de equis sub-cero) o por D(f(x0 )):

Cuando este límite existe (y es finito) se dice que la función f(x) es derivable en el punto x0.
Significado de la derivada
Puesto que

la derivada de la función en un punto x0 no es otra cosa que la pendiente de la tangente a la curva (gráfica de la función) en (x0, f(x0 )).

Calcular la derivada de la funciónf(x) = 3x + 5 en el punto de abscisa x = 1.
Resolución:
Se pide el valor de f '(1) (en este caso, x0 = 1).


Por tanto, f '(1) = 3.
Calcular la derivada de la función
f(x) = en el punto 2.
Resolución:


(conjugado del numerador)

Recordando que suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados:




Ejercicio: cálculo de la ecuación de latangente a una función en un punto
Calcular la ecuación de la tangente a la curva f(x) = x2 en el punto de abscisa 2.
Resolución:
La tangente pasa por el punto (2, f(2)) = (2,4).
La pendiente (m) de la tangente a la curva en el punto de abscisa 2 es, por definición, f '(2), luego la ecuación de la recta es de la forma
y - y0 = m (x - x0)
y - 4 = f '(2) (x - 2).

La ecuación de la tangentees entonces
y - 4 = 4(x - 2)
y - 4 = 4x - 8
4x - y - 4 = 0.
Ejercicio: estudio de la derivabilidad de una función en un punto
Estudiar la derivabilidad de la función f(x) definida por


Resolución:
a) Derivabilidad en x1 = 1.
Se han de considerar dos casos:
1º Lo que pasa a la derecha de este punto, para ello consideraremos h>0
Si h > 0, lógicamente (x1 + h) = 1 + h > 1 yen este caso estamos muy cerca del punto azul del figura pero a la derecha, por lo que la función es la línea recta roja f(x) = x. Por tanto:
f (1) = 1 y f (1+h) = 1 + h


Este límite es el «límite por la derecha» e indica que la tangente a la derecha de 1 tiene por pendiente 1.
2º Lo que pasa a la izquierda de este punto, para ello consideraremos h 0 y h < 0 ya que en lasproximidades de cero
(h es muy pequeño) la función es f(x) = x2.

El límite existe y es cero, luego f(x) es derivable en x0 = 0 y la pendiente de la tangente es cero (paralela al eje de abcisas).

Estudiar la derivabilidad de la función
f (x) = |x| (valor absoluto de x) definida por
Resolución:




Al no coincidir los límites a derecha e izquierda de 0, la función f (x) = |x|no es derivable en dicho punto.
¿Cuándo hay que considerar límites a derecha e izquierda al calcular la derivada de una función en un punto?
Si al dibujar la curva se observa que en el punto considerado ésta cambia bruscamente de dirección, es necesario considerar límites a derecha e izquierda, puesto que, en este caso, la tangente no se comporta de igual modo y se «quiebra».
Consecuencias...