Tranformada de fourier

Divulgaciones Matem´ticas v. 5, No. 1/2 (1997), 43–60
a

Series de Fourier, Transformadas
de Fourier y Aplicaciones
Fourier series, Fourier Transforms and Applications
Genaro Gonz´lez
a
Departamento de Matem´tica y Computaci´n
a
o
Facultad Experimental de Ciencias
Universidad del Zulia. Apartado Postal 526
Maracaibo 4001 - Venezuela
gonzalez@luz.ve
Resumen
En este art´
ıculo seestudian las series de Fourier en el c´
ırculo
y la transformada de Fourier de funciones reales infinitamente
diferenciables con todas sus derivadas r´pidamente decrecientes.
a
Tambi´n se dan ejemplos de algunas de las aplicaciones m´s ime
a
portantes del an´lisis de Fourier a varias ramas de la matem´tica
a
a
y de la f´
ısica.
Palabras y frases clave: Teorema del isomorfismo, serie deFourier, transformada de Fourier, identidad de Parseval, identidad de Plancherel, funciones de Schwartz.

Abstract
In this article we study the Fourier series in the circle and the
Fourier transform of infinitely diferentiable real functions with
all its derivatives rapidly decreasing. We also provide examples
of some of the most important aplications of Fourier analysis to
several branchesof mathematics and physics.
Key words and phrases: The isomorphism theorem, Fourier
series, Fourier transform, Parseval identity, Plancherel identity,
Schwartz functions.

44

1

Genaro Gonz´lez
a

Introducci´n
o

La idea b´sica de las series de Fourier es que toda funci´n peri´dica de per´
a
o
o
ıodo
T puede ser expresada como una suma trigonom´trica de senos y cosenos del
emismo per´
ıodo T . El problema aparece naturalmente en astronom´ de hecho
ıa,
Neugebauer (1952) decubri´ que los Babilonios utilizaron una forma primitiva
o
de las series de Fourier en la predicci´n de ciertos eventos celestiales.
o
La historia moderna de las series de Fourier comenz´ con D’Alembert
o
(1747) y su tratado de las oscilaciones de las cuerdas del viol´ El desplazaın.miento u = u(t, x) de una cuerda de viol´ como una funci´n del tiempo t y
ın,
o
de la posici´n x, es soluci´n de la ecuaci´n diferencial
o
o
o
∂2u
∂2u
=
,
∂t2
∂x2

t > 0,

0 < x < 1,

sujeto a las condiciones iniciales u(t, 0) = u(t, 1) = 0 para t ≥ 0, ∂u (0, x) = 0
∂t
para 0 < x < 1. La soluci´n de este problema es la superposici´n de dos
o
o
ondas viajando en direccionesopuestas a la velocidad 1, como lo expresa la
f´rmula de D’Alembert:
o
u(t, x) =

1
1
f (x + t) + f (x − t),
2
2

en la cual f es una funci´n impar de per´
o
ıodo 2 que se anula en los puntos
x = 0, ±1, ±2, . . . Euler en 1748 propuso que tal soluci´n pod´ ser expresada
o
ıa
en una serie de la forma
∞

f (x) =

ˆ
f (n) sin nπx,

n=1

y como consecuencia
u(t, x) =

∞

ˆ
f(n) cos nπt sin nπx.

n=1

Las mismas ideas fueron luego expuestas por D. Bernoulli (1753) y Lagrange
(1759). La f´rmula
o
1

ˆ
f (n) = 2

f (x) sin nπx dx
0

para calcular los coeficientes apareci´ por primera vez en un art´
o
ıculo escrito
por Euler en 1777.

Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones

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La contribuci´n de Fourier comenz´ en 1807 consus estudios del problema
o
o
del flujo del calor
∂u
1 ∂2u
=
,
∂t
2 ∂x2
presentado a la Acad´mie des Sciences en 1811 y publicado en parte como
e
la c´lebre Th´orie analytique de la chaleur en 1822. Fourier hizo un intento
e
e
serio por demostrar que cualquier funci´n diferenciable puede ser expandida
o
en una serie trigonom´trica. Una prueba satisfactoria de este hecho fue dada
epor Dirichlet en 1829. Riemann tambi´n hizo contribuciones importantes al
e
problema.
Modernamente el an´lisis de Fourier ha sido impulsado por matem´ticos
a
a
de la talla de Lebesgue, Hardy, Littlewood, Wiener, Frobenius, Selberg, Weil
y Weyl entre otros.
En este art´
ıculo se estudian los fundamentos te´ricos de mayor relevano
cia de las series y transformadas de Fourier y se...