Transfomaciones

3.- Transformaciones lineales acotadas
Definici´n 2 Sea E e.v. normado. Una transformaci´n lineal ϕ : E −→ E
o
o
se llama acotada si existe un n´mero M tal que
u
ϕ(x) ≤ M x

; para cada x ∈ E.

Proposici´n 3 Una transformaci´n lineal es acotada si y s´lo si es contino
o
o
ua.
Demostraci´n. Sea T : E −→ E una transformaci´n lineal. Supongamos
o
o
que T es acotada.
Sea xn −→ x entonces T (xn ) − T(x) = T (xn − x) ≤ M xn − x −→ 0.

Por lo tanto, T es continua.
Reciprocamente, supongamos que T es continua. Entonces para = 1 existe
δ > 0 tal que si x < δ entonces T (x) < 1.
yδ
Sea y ∈ E . Entonces para x :=
se tiene que x < δ . Luego
y2

T (y ) = T

2y
x
δ

Por lo tanto, T es acotada.

≤

2y
δ

T (x) ≤

2
y =M y .
δ

Observaci´n : Se define el conjunto
o
B (E, E ) := {T : E −→ E / T es linealy acotado },
el cual es un subespacio de L(E ; E ) := {L : E −→ E / T es lineal }.
Sea ϕ ∈ B (E, E ). Entonces el conjunto
{ ϕ(x)

:

x = 1}

es acotado. Denotemos :
ϕ = sup ϕ(x) .
x =1

Notar que ϕ(x) ≤ ϕ
Proposici´n 4
o

·

x.

es una norma en B (E, E ).

Demostraci´n.
o
N 1 : ϕ ≥ 0 es obvio por definici´n. Si ϕ = 0 entonces sup ϕ(x) = 0,
o
x =1

esto implica que ϕ(x) = 0 para todo x, x = 1.Luego, ϕ ≡ 0 (Ejercicio).
Inversamente, si ϕ ≡ 0 entonces ϕ = 0 evidentemente.
N 3 : λϕ = sup |λϕ(x)| = |λ| sup |ϕ(x)| = |λ| ϕ .
x =1

x =1

N 2 : Para cada x ∈ E ,
(ϕ + ψ )(x) = ϕ(x) + ψ (x) ≤ ϕ(x) + ψ (x) ≤ ( ϕ + ψ ) x ;
por lo tanto, ϕ + ψ ≤ ϕ + ψ .

Observaci´n :
o

·

tiene la propiedad adicional :
ψ◦ϕ ≤ ψ

ϕ.

Ejercicios
1. Una sucesi´n infinita de vectores (xn ) en un e.v. normado E se dice
oconvergente a x si : ∀

> 0 ∃ N tal que xn − x <

∀n>N

(a) Demuestre que cada sucesi´n convergente satisface el siguiente
o
criterio de Cauchy : ∀

> 0 ∃ N tal que xn − xm < si n > N ,

m > M.
(b) Demuestre que cada sucesi´n de Cauchy en un e.v. normado de
o
dimensi´n finita es convergente.
o
(c) De un ejemplo que muestre que (b) no es cierto si la dimensi´n
o
es infinita.
Un e.n. se llama completosi cada sucesi´n de Cauchy es convergente.
o
Sea E e.n. completo y ϕ : E −→ E una transformaci´n lineal tal que
o
ϕ ≤ 1. Demuestre que la serie
transformaci´n lineal
o

∞
n=0

∞

ϕn

ψ=
n=0

tiene las siguientes propiedades :
(a) (1 − ϕ) ◦ ψ = ψ ◦ (1 − ϕ) = 1
1
.
(b) ϕ ≤
1− ϕ

ϕn es convergente y que la

4.- Transformaciones lineales en espacios con producto interno
En todo lo que sigue se suponeque los espacios vectoriales son de dimensi´n
o
finita.

Transformacion adjunta
Sean E , F e.v. Sea ϕ : E −→ F lineal. Sean E ∗ , F ∗ e.v. duales de E y
F respectivamente. Entonces ϕ induce ϕ∗ : F ∗ −→ E ∗ una transformaci´n
o
lineal definida por
ϕ∗ (y ∗ ), x = y ∗ , ϕ(x) ; x ∈ E , y ∗ ∈ F ∗ .
En el sentido anterior ϕ∗ y ϕ se llaman duales.
Definici´n 5 ϕ se llama la transformaci´n adjunta.
o
o
Si Ey F son e.v. con producto interno; reemplazando la dualidad , por el
producto interno, se obtiene la relaci´n
o
ϕ(x), y

F

= x, ϕ∗ (y )

E

;x ∈ E , y ∈ F

(1)

de esta manera cada ϕ : E −→ F determina una transformaci´n lineal
o
ϕ∗ : F −→ E .
Observaci´n : (ϕ∗ )∗ = ϕ.
o
Demostraci´n. ϕ∗ y (ϕ∗ )∗ est´n relacionadas por :
o
a
ϕ∗ (y ), x = y , (ϕ∗ )∗ (x)

(2)

luego, de (1) y (2) se tiene queϕ(x), y = (ϕ∗ )∗ (x), y

∀y ∈ F , x ∈ E

con lo que ϕ∗ ∗ = ϕ.
Ejercicio : Mostrar que, con respecto a bases ortonormales, la matriz de
una transformaci´n adjunta corresponde a la matriz traspuesta.
o

Trasnformacion lineal adjunta
Sea E e.v. con producto interno y consideremos el caso F = E . Entonces a
cada transformaci´n lineal ϕ : E −→ E le corresponde una transformaci´n
o
o
lineal adjunta ϕ∗ : E−→ E . Si e y e son vectores propios de ϕ y ϕ∗
respectivamente. Entonces
ϕ(e) = λe
y
ϕ∗ (e) = µe.
Pero, por definici´n
o
ϕ(e), e = λe, e = λ e, e
y
e, ϕ∗ (e) = e, µe = µ e, e

lo que implica que λ = µ si e, e = 0. Por lo tanto, si ϕ(e) = λe entonces

ϕ∗ (e) = λe.

La relacion entre transformaciones lineales y funciones bilineales
Sea ϕ : E −→ E una transformaci´n lineal. Sea E e.v. con producto...