Transformadas y antitransformadas

Transformadas y antitransformadas de Laplace:
1.- Obtener la antitransformada de

y de

1
s2 −a2

s
s2 −a2 .

Usando fracciones parciales

1
s2 −a2

A
s−a

=

B
s+a

+A(s+a)+B(s−a)
(s−a)(s+a)

=

Si s=a,
S=-a, 1 = −2aB ∴ B =

y si:

1
2a

1 = A(a + a) = 2aA → A =
−1
2a .

1
1 1
1 1
Por tanto s2 −a2 = 2a s−a − 2a s+a . La antitransformada de cada unode estos
términos es, respectivamente,
1 at −1 −at
.
2a e y 2a e

Como la antitransformada es lineal, esto es,
L−1 (mF (s) + n(G(s)) = mL−1 (F (s)) + nL−1 (G(s)).
1
L−1 ( s2 −a2 ) =Análogamente

1 at
2a e

−

s
s2 −a2

1 −at
2a e

=

C
s−a

+

Si s=-a, −a = −2aD → D =
s
Y L−1 ( s2 −a2 ) =

1 1 at
a 2e

+

=

1 eat −e−at
a
2

D
s+a

−a
−2a

1e−at
a 2

=

1
= a senhat.

C(s+a)+D(s−a)
(s−a)(s+a)

→

= 1 . Si s=a, a = 2aC → C =
2

=

1
a

2.- Obtener la antitransformada de

1
2

cosh at.
1
(s−a)(s−b) , a

=bDescomponiendo en fracciones parciales,
1
(s−a)(s−b)

=

A
s−a

+

B
s−b

=

A(s−b)+B(s−a)
(s−a)(s−b) .

Sustituyendo el valor de las dos raíces, podemos calcular las constantes A y B:Si: s = a, 1 = A(a − b). y A =

1
a−b .

Sustituyendo s = b, 1 = B(b − a). → B =
Por tanto

1
(s−a)(s−b)

=

1
1
a−b s−a

+

1
1
b−a s−b

1
b−a

=

1
1
a−b ( s−a

−La antitransformada de Laplace de esta expresión será
Sencilla comprobación:
1
L( a−b (eat − ebt )) =

=

s−b−(s−a)
1
a−b ( (s−a)(s−b) )

=

1
1
a−b ( s−a

1
s−b )

=

1
a−ba−b ( (s−a)(s−b) )

=

−

1
(s−a)(s−b)

1

1
s−b ).
1
at
a−b (e

− ebt ).

3.- Obtener la antitransformada de
Sabemos que L(senkt) =
L(cos kt) =

1
(s2 +a2 )2 .

k
s2 +k2 ;L(tsenkt)

s
s2 +k2 ; L(t cos kt)

d
k
= − ds ( s2 +k2 ) =

d
s
= − ds ( s2 +k2 ) = − (s

2

2ks
(s2 +k2 )2

+k2 )−(s2s)
(s2 +k2 )2

=

y que

s2 −k2
(s2 +k2 )2 .

La...