Trapecio

Fundamentos de Análisis Numéricos

QUINTA UNIDAD
INTEGRACION NUMERICA

METODO DEL TRAPECIO
La primera etapa para evaluar en forma numérica una integral. Por el método general consiste en dividir
el área representada por “I” en cierto número de bandas son del mismo ancho, de manera que si se
forman “n” bandas, su ancho será .

(B – A )
H = -------------N
En el método del trapecio sedice lo siguiente: en vez de aproximar la integral f(x) en una distancia (a,b)
por una recta, conviene dividir la distancia(a,b) en n subintervalos o segmentos y aproximar a cada uno
por un polinomio de primer grado una vez hecho esto , se aplica la formula trapezoidal para cada
intervalo y se obtiene el área de cada trapezoide que componen la curva, de tal modo que la suma de
todas ellas da laaproximación del área bajo la curva f(x).
Esto es en la formula del Trapecio

F (X 0) + 2(?f(X i)) + F(X n)
I = (b - a ) * -----------------------------------2n
Ejemplo: Calcular por medio del método del trapecio la integral de la siguiente función.
F(X) = 0.2 + 25 X - 200 X2 + 675 X3 - 900 X4 + 400 X5
Desde a = 0 hasta b= 0.8 con un número de segmentos n = 2
Se calcula el ancho de cadasegmento.

(B - A )
H = -------------N
(0.8 - 0 )
H = -------------2
(0.8 )
H = ----------= 0.4
2
R ealizado por:
Ing. Jorge Eloy Toledo Coronel
Correo jetcoronel@hotmail.com

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Primeramente se calcula la integral en forma normal
0.2 dx + 25 ∫ X dx - 200 ∫X2 dx + 675 ∫ X3 dx - 900 ∫ X4 dx+ 400 ∫ X5 dx
0.2 x + 25 x2 - 200 x3 + 675 x4 - 900 x5 +400 x6
--------- ------------ ----------- ------------ ----------2
3
4
5
6
0.2 x + 12.5 x2 - 66.66 x3 + 168.75 x4 - 180 x 5 + 66.66 x 6

ab

Haciendo x = a y sustituyendo el valor de “a” tenemos:
I(a)=0.2(0)+ 12.5 (0)- 66.66 (0) + 168.75 (0) - 180 (0) + 66.66 (0)
I(0)=0.0
Haciendo x = b y sustituyendo el valor de “b” tenemos:
I(b)=0.2(.08)+12.5(0.8)- 66.66(0.8)+168(0.8)-180(0.8)+66.66(0.8)
I(0.8)=1.6422
I(total) =I(b) – I(a)
I(total) =1.6422-0.0
I(total) =1.6422
El valor real de la integral es 1.6422
Se calculan los valores de cada función tomando en cuenta el ancho de cada segmento.
F(H*0)=F(0.4*0)=F(0)=0.2+25(0)-200(0) 2+2+675(0) 3-900(0)4+400(0)5
F(0)=0.2
F(H*1)=F(0.4*1)=F(0.4)=0.2+25(0.4)-200(0.4) 2+2+675(0.4)3-900(0.8) 4+400(0.4) 5
F(0.4)=2.456F(H*2)=F(0.4*2)=F(0.8)=0.2+25(0.8)-200(0.8) 2+2+675(0.8)3-900(0.8) 4+400(0.8) 5
F(0.8)=0.232

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Realizamos la grafica tomando en cuenta el valor de x y los valores obtenidos en f(x) y tenemos lo
siguiente:

3
2,5
2
1,5

Serie1

1

1

0,5

2

0
0

0,2

0,4

0,60,8

1

Calculamos la integral por el método del Trapecio de segmentos múltiples .
I˜ (b-a) * Fxo +2*(? FXi) + FXn
-----------------------------2n
I˜ (0.8- 0) * 0.2 +2*(2.456) +0.232
------------------------------------2(2)
I˜ 0.8 *1.336

I˜ 1.0688
S e calcula el error absoluto y relativo de la integral.
Ea =X - X
Ea=1.6422 -1.0688
Ea=0.5734

Er =
Ea
--------------x
Er=0.5734 * 100
-------------1.6422
Er=34.9%

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EJEMPLO 2: POR EL METODO DEL TRAPECIO CALCULAR LA INTEGRAL DE LA MISMA FUNCION.
F(X) = 0.2+25X-200X2+675X3-900X4+400X5
Sabiendo que el valor real de la integral es 1.6422
Para un segmento ¨n¨
Para a=0 hasta b= 0.8F(H*2)=F(0.4*2)=F(0.8)=0.2+25(0.8)-200(0.8)2+2+675(0.8)3-900(0.8)4+400(0.8) 5
F(0.8)=0.232

S e calcula el ancho de cada segmento.
H = ( b - a)
--------n
H= (0.8-0)
---------1
H=0.8
S e calcula la función tomando en cuenta el ancho de cada segmento “h”
F(H*0)=F(0.8*0)=F(0)=0.2+25(0.)-200(0)2+2+675(0.)3-900(0)4+400(0) 5
F(0)=0.2
F(H*1)=F(0. 8*1)=F(0.8)=0.2+25(0.8)-200(0.8) 2+2+675(0.8)3-900(0.8)...