Trasnformaciones Lineales

r5.- Transformaciones

Lineales

5.1Definición transformación lineal de núcleo ó kernel, e imagen de una transformación lineal y sus propiedades Se denomina transformación lineal a toda función, T, cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones: 1. T(u + v) = T(u) + T(v) 2. T(ku) = kT(u) donde k es un escalar. Transformación lineal nulaTransformación lineal identidad

Homotecias con Si |k| > 1 se denominan dilataciones Si |k| < 1 se denominan contracciones Propiedad de la transformaciones lineales

1. Transformación de núcleo ó kernel Sea una transformación lineal. Se define el Kernel o Núcleo de la transformación lineal , denotado por al conjunto de las preimágenes del vector nulo, es decir

Si manera:

es lineal, se define elnúcleo y la imagen de T de la siguiente

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio. El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio: Página 1

1. 2. Dados 3. Dados

dado que T(0V) = 0W

Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad(T) =dim(Nu(T)) O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio. La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio. El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen. rg(T) = dim(Im(T)) ejemplo Una transformación lineal de R2en R3  x + y  −1  x   2    T =   =  x − y . por ejemplo tenemos T =   =  5 . Entonces  y  − 3    3y     − 9    

 x1 + x 2 + y1 + y 2    x1   x 2   x1 + x 2   T =   +   = T    y + y  =  x1 + x 2 − y1 − y 2  y  y  2   1  1   2    3y + 3y 1 2   x + y  x1 + y 2   x 2 + y 2         x1  pero =  x1 − y 2 . +  x 2 − y 2   x − y .= T   y   1  3y   3y   3y  1 2      
Así De manera similar
 x1   x 2   x2   x1  T =   +  . = T   + T   y  y       2  1  y1   y 2 

y

 x2 + y 2     x2   x 2 − y 2 . = T   y   2  3y  2  

αx + αy  x + y      x  αx    x   T = α    = T   =  α x − α y . = α  x − y  = α T   αy   y   3α y      y   3y     

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Matrices como transformaciones lineales Definición 2.1.1 Dados V, W espacios vectoriales sobre lineal entre y es una función Que satisface la siguiente condición, para todo , : Ejercicio 1 : Si es lineal, entonces , y . una transformación

ejemplo: Si satisface es una transformación lineal. , , entonces

Definición 2.1.2 Dada por '', es decir,, definimos a

como la función multiplicación

con Teorema 2.1.3 Sea lineal asociada Entonces: una matriz, y su transformación

1. 2. 3. 4. 5. . .

.

. .

5.2 Representación lineal de una transformación lineal

Sea T: V → W una transformación lineal, donde V y W son espacios vectoriales. Sean e1 = (1, 0, 0, , 0), e2 = (0, 1, 0, 0, , 0), e3 = (0, 0, 1 , 0, , 0) , , en = (0, 0, 0, ,0, 1). Suponga que {e1, e2, e3, , en} es una base de V. Ahora, sea
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T(e1) = w1, T(e2) = w2, T(e3) = w3, , T(en) = wn. Llamamos a AT la matriz cuyas columnas son w1, w2, w3, , wn. Entonces a la matriz AT se le llama la representación matricial de T. Ejemplo Encuentre la matriz de transformación At correspondiente a la proyección de un vector en R3 sobre el plano xy.

 x  x  11  0  0  0  0                 Solución aquí T =  y  =  y  . En particular, T  0  =  0 , T  1  =  1  yT  0  =  0       0  0  0  0 1  0  z  0             1 0 0  x   1 0 0  x   x           Así At =  0 1 0  observe que At =  y  =  0 1 0  y  =  y   0 0 0  z   0 0 0  z   z       ...