Trdf

5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Transformada Discreta de Fourier (DFT)
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Transformada Discreta de Fourier FFT (Fast Fourier Transform)

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Capítulo 6: Transformada Discreta de Fourier (DFT)

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5º Curso-Tratamiento Digital de Señal

Transformada Discreta de Fourier
Ì Ì

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Antes de definir la DFT, analizaremos primero la Transformada de Fourier en tiempodiscreto (DTFT). La DTFT describe el espectro de señales discretas. Deduciremos la DFT a partir de la convolución discreta explicada en el Capítulo 2. Allí se definió la convolución discreta como ∞
y[n] = x[n]∗ h[n] =
x

Si tenemos una señal de entrada armónica x[n]=exp(j2πnfts), la respuesta y[n] es ∞ y[n] = ∑ exp[ j 2π (n − k ) ft s ] ⋅ h[k ]
k =−∞

k =−∞

∑ x [k ]h [n − k ]
s s

= exp(j 2πnft s ) ∑ exp( − j 2πkft s ) ⋅ h[k ] = x[n]⋅ H ( f )
k =−∞
x

∞

H(f) es la DTFT de la señal discreta h[n]. Nótese que la función H(f) es periódica, debido a que h[n] es una función discreta.
Capítulo 6: Transformada Discreta de Fourier (DFT) 2

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Transformada Discreta de Fourier
Ì

Se define la DTFT de una señal discreta x[n]como ∞
X( f ) =
k =−∞

∑ x[k ]exp(− j 2πkfts )

Ì

Dualidad entre las series de Fourier y la DTFT
x

Tenemos una señal periódica continua xp(t). Mediante las series de Fourier transformamos esa señal periódica continua en una función aperiódica y discreta (los coeficientes espectrales XS[k]). ∞ 1 X S [k ] = ∫ x p (t ) exp(− j 2πkf0 t )dt x p (t ) = ∑ X S [k ]exp( j 2πkf0 t ) T
T

xDe una manera dual, podemos intercambiar tiempo y frecuencia de forma ∞ 1
xS [k] = SF

k =−∞

∫

SF

X P ( f )exp( j2πkfts )df

XP ( f ) =

k =−∞

∑x [n]exp(− j2πkft )
S s

donde SF=1/ts . Ahora tenemos una señal aperiódica discreta xs[k] y la transformamos en una señal periódica continua (Xp(f)) mediante la DTFT.

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Capítulo 6: Transformada Discreta de Fourier (DFT)3

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Transformada Discreta de Fourier
x

El comportamiento dual entre las series de Fourier y la DTFT se manifiesta en lo siguiente :
3

3

En las series de Fourier parto de una señal x(t), temporal, continua y periódica (periodo T) y obtengo los coeficientes X[k], que es una función de la frecuencia, aperiódica y discreta con una distancia entredos valores consecutivos de f0=1/T. En la DTFT parto de una señal discreta en el tiempo x[n], con periodo de muestreo ts=1/fs y aperiódica y obtengo una función X(f), que es función continua de la frecuencia y periódica con periodo fs.

x

x

Todas las propiedades que se vieron para las series de Fourier tienen su correspondientes equivalencias en la DTFT. Ejemplo : DTFT de la ∞ secuenciax[n]=δ[n] : X ( f ) = ∑ δ [k ] exp(− j 2πkft s ) = 1 k =−∞ Si tenemos una secuencia x[n]={1,0,3,-2}, a partir de la anterior ecuación y aplicando la propiedad del desplazamiento,
X ( f ) = 1 + 3 exp(− j 4πft s ) − 2 exp(− j 6πft s )
Capítulo 6: Transformada Discreta de Fourier (DFT) 4

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Transformada Discreta de Fourier
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Ì

Ì

Sinembargo, a la hora de realizar operaciones tenemos los mismos problemas que en las series de Fourier ya que seguimos tratanto con señales continuas o con series de datos de longitud infinita. La electrónica nos obliga a trabajar con un número finito de datos discretos que además tienen una precisión finita. De lo que se trata es de conseguir discretizar las variables continuas y de limitar el númerosde muestras en los dos dominios (temporal y frecuencial). Esto nos lleva a definir las series discretas de Fourier y la Transformada Discreta de Fourier (DFT).

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Capítulo 6: Transformada Discreta de Fourier (DFT)

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Transformada Discreta de Fourier
Ì

De las Series de Fourier a las Series Discretas de Fourier
x

x

Para las...