triangulo

 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
INTRODUCCIÓN.
Esta unidad didáctica pretende que el alumno se familiarice con los distintos casos de resolución y llegue a adquirir la habilidad para saber de antemano si el problema va a tener  o no solución y cuantas soluciones puede encontrar.
 La posibilidad de manipulación de los elementos hasta llegar a la construcción del triángulo facilitará lacomprensión de las propiedades que han de cumplir los elementos de un triángulo cualquiera.
 Un triángulo que no es rectángulo se le llama oblicuángulo(*). Los elementos de un triángulo oblicuángulo son los tres ángulos A, B y C y los tres lados respectivos, opuestos  a los anteriores, a, b y c.

     Un problema de resolución de triángulos oblicuángulos consiste en hallar tres de suselementos, lados o ángulos, cuando se conocen los otros tres (uno de los cuales ha de ser un lado).
(*) Oblicuángulo se contrapone a rectángulo, en sentido estricto. Pero cuando se habla de triángulos oblicuángulos no se pretende excluir al triángulo rectángulo en el estudio, que queda asumido como caso particular. No obstante cuando el triángulo es rectángulo, porque se dice expresamente que lo es, elproblema se reduce, tiene un tratamiento particular y no se aplican las técnicas generales de resolución que vamos a ver seguidamente.
                Se utilizan tres propiedades: 
Suma de los ángulos de un triángulo
A + B + C = 180º
Teorema del seno

Teorema del coseno
a2 = b2 + c2 - 2·b·c·Cos A
b2 = a2 + c2 - 2·a·c·Cos B
c2 = a2 + b2 - 2·a·b·Cos C
              



  Casos en laresolución de triángulos:
CASO
DATOS CONOCIDOS
INCÓGNITAS
I
Los tres lados: a, b, c
Los tres ángulos A, B, C
II
Un lado y los ángulos adyacentes: a, B, C
Dos lados y un ángulo: b, c, A
III
Dos lados y el ángulo formado: a, b, C
Un lado y dos ángulos: c, A, B
IV
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a, b, A
Un lado y dos ángulos: c, B, C

CASO I: Se dan los lados a, b y cORIENTACIONES
Hay que tener en cuenta que este caso no siempre tiene solución, es decir no valen cualesquiera tres segmentos a, b y c ya que para que pueda formarse un triángulo ha de cumplirse que cualquier  lado  ha de ser menor que la suma de los otros dos.
Esta propiedad se conoce como  propiedad triangular y se expresa así:
a < b + c
b < a + c
c < a + b
Comprobar esta propiedad en lasiguiente escena. 
Los extremos B y B_ son controles que se pueden mover  pulsando y reteniendo el botón izquierdo del ratón y luego desplazándolo. 
a, b y c son parámetros que podemos elegir a voluntad. Inicialmente a =7, b =10 y c = 6.
La solución trigonométrica de A, B y C se obtiene calculando en el siguiente orden:
1º  Aplicando el teorema del coseno para calcular A y luego B
2º Aplicandola relación de la suma de ángulos se calcula C:




NOTA 1: cada vez que se cambien los valores a, b y c hay que desplazar los controles B y B_  para que los segmentos de la escena se adapten a los nuevos valores.
NOTA 2:  la solución da A=B=C=0º representa  un caso imposible





ACTIVIDADES CASO 1
1.- Utilizando los valores iniciales a = 7, b = 10, c = 6 desplazar los controles B yB_ hasta que queden superpuestos. Comparar la solución obtenida tras esta manipulación con la solución trigonométrica.
2.- Dibuja en el cuaderno el triángulo de la escena, lo más aproximado posible, y realiza los cálculos propuestos valiéndote de una calculadora (puedes utilizar p.e. la calculadora de Windows). Compara tu solución con la obtenida anteriormente y revisa los cálculos si nocoincide.
3.- Comprueba que los segmentos a = 3, b = 4 y c = 5 forman una terna pitagórica, es decir forman un triángulo rectángulo. Manipula los controles hasta formar el triángulo. Haz un dibujo del triángulo en el cuaderno y realiza los cálculos asegurándote que resuelves correctamente el triángulo.
4.- Comprueba la imposibilidad de formar triángulo con los siguientes segmentos a = 4, b = 10 y...