triangulos elementos finitos

ELEMENTO TRIANGULAR
Problema:

RELACIONES CONSTITUTIVAS DE LA MECÁNICA DE SÓLIDOS
Deformación Plana:

1 − ν
 σ xx 



E
⋅ ν
 σ yy  =
 τ  (1 + ν )(1 − 2 ⋅ν ) 
 0
 xy 


0   ε xx 
  
0  ⋅  ε yy 
1 −ν   
  γ xy 
2 

ν
1 −ν
0

Tensión Plana

1 ν
 σ xx 
0   ε xx 

  


E
⋅ ν 1
0  ⋅  ε yy 
 σ yy  =
2

1 −ν  
 τ  1 −ν
γ xy
0 0

 xy 
2   



(

)

σ = D ⋅ε

En forma generalizada y matricial:

 ∂u 


 ε xx   ∂x 
   ∂v 
 ε yy  = 

 γ   ∂y 
 xy   ∂u ∂v 
 ∂y + ∂x 


ELEMENTO FINITO 2D TRIÁNGULO

k
i
y

j
x

u ( x, y ) = N i ( x, y ) ⋅ u i + N j ( x , y ) ⋅ u j + N k ( x , y ) ⋅ u k
v( x, y ) = N i ( x, y ) ⋅ vi + N j ( x, y) ⋅ v j + N k ( x, y ) ⋅ vk

 u ( x, y )   N i ( x , y )

 v ( x, y )  =  0
 

 

0

N j ( x, y )

0

N k ( x, y )

N i ( x, y )

0

N j ( x, y )

0

 ui 
v 
 i
0
 
 u j 
⋅ 
N k ( x, y )   v j 

u k 
 
 vk 
 

U = N ⋅u
Obtención función de interpolación
Seis pasos claves
1. Asumir la forma de la función para el campode desplazamiento en el elemento.
2. Exprese el campo de desplazamientos en términos de los desplazamientos nodales.
3. Introduzca la ecuación deformación - desplazamiento y determine el estado de deformación
del elemento correspondiente al campo de desplazamiento asumido.
4. Escribir la ecuación constitutiva relacionando esfuerzo y deformación introduciendo las
propiedades de los materialesdel elemento.
5. Encontrar las fuerzas nodales las cuales son estáticamente equivalentes a los esfuerzos
actuantes en los bordes del elementos
6. Combine los resultados del paso1 al 5 e identifique la matriz de rigidez del elemento.
Paso 1

 ui 
v 
 i
u j 
 
u= 
v j 
uk 
 
vk 
 
Paso 2

u = α 1 + α 2x + α 3y

u i = α 1 + α 2 xi + α 3 y i
u j = α1 + α 2 xj + α 3 y j

vi = α 4 + α 5 xi + α 6 y i
v j = α4 + α5x j + α6 y j

u k = α 1 + α 2 xk + α 3 y k

vk = α 4 + α 5 xk + α 6 y k

v = α 4 + α 5x + α 6 y

yi  α 1 
 
y j ⋅ α 2 
yk  α 3 
 

 ui  1 xi
 
u j  = 1 x j
u  1 x
k
 k

 vi  1 xi
 
vj  = 1 xj
v  1 x
k
 k

yi  α 4 
 
y j ⋅ α 5 
yk  α 6 
 

Finalmente

α1 =

α3 =ai u i + a j u j + a k u k

α2 =

2∆

bi ui + b j u j + bk u k
2∆

ci u i + c j u j + c k u k

α4 =

α6 =

2∆

a i vi + a j v j + a k v k
2∆

α5 =

bi vi + b j v j + bk vk
2∆

ci vi + c j v j + ck vk
2∆

donde:

ai = x j y k − x k y j

bi = y j − y k

ci = x k − x j

a j = xk yi − xi y k

b j = y k − yi

c j = xi − xk

ak = xi y j − x j yi

bk = yi − yj

ck = x j − xi

1 xi
1
∆ = 1 xj
2
1 xk

u=

ai u i + a j u j + a k u k
2∆

 bi u i + b j u j + bk u k
+

2∆


yi
yj
yk


 c u + c j u j + ck u k
⋅ x + i i


2∆




⋅ y



cj
 a j bj

b
c
b
c
a

a

u =  i + i ⋅ x + i ⋅ y  ⋅ ui + 
+
⋅x+
⋅ y  ⋅ u j +  k + k ⋅ x + k ⋅ y  ⋅ uk
 2∆ 2∆

2∆ 
2∆ 
2∆ 
 2∆ 2 ∆
2∆ 2∆

cj
 a j bj

b
c
b
c
a

a

v =  i + i ⋅ x + i ⋅ y  ⋅ vi + 
+
⋅x+
⋅ y  ⋅ v j +  k + k ⋅ x + k ⋅ y  ⋅ vk
 2∆ 2 ∆

2∆ 
2∆ 
2∆ 
 2∆ 2∆
 2∆ 2 ∆

b
c
b
c
a

b
c
a

a

N i ( x, y ) =  i + i ⋅ x + i ⋅ y  ; N j ( x, y ) =  j + j ⋅ x + j ⋅ y  ; N k ( x, y ) =  k + k ⋅ x + k ⋅ y 
 2∆ 2∆

2∆ 
2∆ 
2∆ 
 2∆ 2∆
 2 ∆ 2∆
RELACIONES CONSTITUTIVAS Y ELEMENTO FINITO

 ∂u  

 
 ε xx   ∂x  
   ∂v  
=
 ε yy  = 
∂y  
γ  

 xy   ∂u ∂v   ∂N i
∂N j
+  
⋅ ui +
 ∂y ∂x
∂y

  ∂y


∂N j
∂N i
∂N k

⋅ ui +
⋅uj +
⋅ uk

∂x
∂x
∂x

∂N j
∂N i
∂N k
⋅ vi +
⋅vj +
⋅ vk

∂y
∂y
∂y

∂N j
∂N k
∂N i
∂N k

⋅uj +
⋅ uk +
⋅ vi +
⋅vj +
⋅ vk 
∂y
∂x...