Triangulos

El triángulo de Pascal
Una de las pautas de números más interesantes el es triángulo de Pascal (llamado así en honor de Blaise Pascal, un famoso matemático y filósofo francés).
Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, y pon números debajo formando un triángulo. 

Cada número es la suma de los dos números que tiene encima, menos los extremos, que son siempre "1".
(Aquí estáremarcado que 1+3 = 4)
Pautas en el triángulo
Diagonales
La primera diagonal es, claro, sólo "unos", y la siguiente son todos los números consecutivamente (1,2,3, etc.)
La tercera diagonal son los números triangulares
(la cuarta diagonal, que no hemos remarcado, son los números tetraédricos.)
Usar el triángulo de Pascal
Caras y cruces
El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones decaras y cruces de pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación.
Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y una cruz (CCX, CXC, XCC), también tres de sacar una cara y dos cruces (CXX, XCX, CXX) y sólo una de sacar tres cruces (XXX). Esta es la pauta "1,3,3,1" enel triángulo de Pascal.

Tiradas
Resultados posibles (agrupados)
Triángulo de Pascal
1
H
T
1, 1
2
HH
HT TH
TT
1, 2, 1
3
HHH
HHT, HTH, THH
HTT, THT, TTH
TTT
1, 3, 3, 1
4
HHHH
HHHT, HHTH, HTHH, THHH
HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH
HTTT, THTT, TTHT, TTTH
TTTT
1, 4, 6, 4, 1
 
... etc ...
 
¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?
Hay1+4+6+4+1=16(o 4×4=16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 6/16,037.5%
Combinaciones
El triángulo también muestra cuántas combinaciones de objetos son posibles.
Por ejemplo, si tienes 16 bolas de billar, ¿de cuántas maneras puedes elegir tres de ellas (sin hacer diferencia del orden en que las eliges)?
Respuesta: baja a la fila 16 (la primera esla fila 0), y mira 3 lugares a la derecha, allí está la respuesta, 560. Aquí tienes un trozo del triángulo en la fila 16:
1 14 91 364...
1 15 105 455 1365...
1 16 120 560 1820 4368...




Polinomios
El triángulo de Pascal también te da los coeficientes en la expansión de un binomio:
Potencia
Expansión polinomio
Triángulo de Pascal
2
(x + 1)2 = 1x2 + 2x+ 1
1, 2, 1
3
(x + 1)3 = 1x3 + 3x2 + 3x + 1
1, 3, 3, 1
4
(x + 1)4 = 1x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1
1, 4, 6, 4, 1
 
... etc....
 
Las 15 primeras líneas
Como referencia, aquí tienes las filas 0 a 14 del triángulo de Pascal













Los chinos ya lo conocían
Este dibujo se titula “El antiguo grafico del método de los sietes cuadrados multiplicadores”
Esto es de la portadadel libro de Chu S hi- Chien “Ssy Yuan Yü Chien” (Espejo precioso de los cuatro elementos), escrito en 1303 (¡hace mas de 700 años!), y en el libro se dice que el triángulo ya era conocido más de dos siglos antes.
El quincunce


Estas asombrosa maquina creada por Sir Francis Galton es un triángulo de Pascal hecho con palos. Se llama quincunce.





Las bolas se dejan caer sobre el primerpalo y rebotan hasta abajo del triángulo donde caen en pequeños contenedores


Parece completamente aleatorio (y lo es) pero después de un rato veras que las bolas caen en un bonito patrón: la distribución normal.





Historia
El Triángulo de Pascal o Tartalea tiene un origen, como en muchos otros casos, muy anterior al de estos dos matemáticos. Se tienen referencias que datan del sigloXII en China. De hecho, algunas de sus propiedades ya fueron estudiadas por el matemático chino Yang Hui (siglo XIII), así como el poeta persa Omar Khayyam (siglo XII).
El que se le asocie el nombre del filósofo, matemático Pascal (1623-1662) se debe a que el francés escribió el primer tratado sobre el triángulo. Lo de Tartalea (1500-1557) viene porque el italiano fue de los primeros que lo...