trigonimetrai

Resumen para suma y diferencia de ´ngulos.
a
Las seis ultimas identidades pueden ser resumidas as´
´
ı:
sen(x ± y) = sen x cos y ± cos x sen y,
cos(x ± y) = cos x cos y
tan(x ± y)=

sen x sen y,

tan x ± tan y
.
1 tan x tan y

Funciones del ´ngulo doble
a
Las siguientes f´rmulas se deducen de las anteriores, simplemente tomando y = x.
o

sen(2x) = 2sen x cos x
cos(2x) = cos2 x − sen2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sen2 x
2 tan x
tan(2x) =
1 − tan2 x

Funciones del ´ngulo medio
a
Tomando y = x/2 y usando las f´rmulas para angulodoble, podemos expresar cos(x)
o
´
en t´rminos de sen(y) o de cos(y).
e
Despejando sen(y) o cos(y) en esas f´rmulas, obtenemos:
o
x
2
x
cos
2

= ±

sen

= ±

1 − cos x
21 + cos x
2

Dividiendo ambas f´rmulas, obtenemos:
o

tan

x
2

= ±

1 − cos x
1 + cos x

En todas estas f´rmulas, el signo (+ o −) depender´ del cuadrante en que seencuentre
o
a
Puede probarse tambi´n que:
e

tan

x
2

=

sen(x)
1 + cos(x)

F´rmula que resulta m´s util y m´s simple que la anterior.
o
a ´
a

x
.
2Transformaci´n de sumas a productos
o

Dados x e y, sean
α=

x+y
x−y
, β=
=⇒ x = α + β
2
2

y y =α−β

.
As´
ı:
sen x + sen y = sen(α + β) + sen(α − β)
= (sen α cos β + cos α sen β)+ (sen α cos β − cos α sen β)
x−y
x+y
cos
.
= 2 sen α cos β = 2 sen
2
2
An´logamente, se puede demostrar que:
a
x+y
x−y
sen
,
2
2
x+y
x−y
cos x + cos y = 2 cos
cos
,2
2
x+y
x−y
cos x − cos y = −2 sen
sen
.
2
2

sen x − sen y = 2 cos

Transformaci´n de productos a sumas
o
En las f´rmulas anteriores, se puede reemplazar x e y en t´rminosde α y β para obtener:
o
e
1
(cos(α − β) − cos(α + β)) ,
2
1
sen α cos β =
(sen(α + β) + sen(α − β)) ,
2
1
cos α cos β =
(cos(α + β) + cos(α − β)) .
2

sen α sen β =