Trigonometría de Triángulos Rectángulos


Trigonometría de Triángulos Rectángulos
En la antigüedad (alrededor del año 100 A.C), para resolver problemas de astronomía, navegación y geografía, fueron utilizadas relaciones entre lados yángulos de un triángulo rectángulo, estos trabajos dieron origen a la trigonometría.
La palabra trigonometría viene del griego: Trigonon: triángulo, Metría: medida.
Hiparco y Tolomeo crearon esta ramade las matemáticas y su primera presentación se encuentra en El Almagesto.Con el uso de la trigonometría calcularon tamaños y distancias de cuerpos celestes.
Las definiciones y demostraciones que seutilizan actualmente no difieren mucho de las propuestas por ellos.
 
En los triángulos rectángulos  y ,  , entonces 
 , por el criterio AAA los triángulos son semejantes y por lo tanto las razonesentre las medidas de los lados correspondientes son iguales.

Cada una recibe un nombre especial:

Definición
Note que estos valores no dependen de la longitud de los lados sino de la medida delángulo.
Si en los triángulos rectángulos:  y , , entonces:

Ejemplo Los matemáticos griegos y el ingeniero Heron mostraron cómo se puede construir un túnel bajo una montaña trabajando en los doslados simultáneamente. Eligieron un punto  en un lado, un punto  en el otro y finalmente un punto  tal que la medida del ángulo  fuera de . Después midieron  y  y encontraron que sus longitudes eran 100pies y 75 pies respectivamente.
Ahora, dijo Heron, es posible encontrar la medida de los ángulos  y . Entonces instruyó al trabajador ubicado en  para que siguiera una línea recta que conservara elángulo calculado con  y dio instrucciones análogas al trabajador en . ¿Cómo calculó estos dos ángulos?

Solución: Encontrando la tangente del ángulo en :  y calculando la tangente del ángulo en B: .Ejemplo Sara está volando una cometa y tiene sus manos a 5 pies por encima del piso. Si la cometa está a 200 pies arriba del suelo, y la cuerda de la cometa forma un ángulo de  con la horizontal,...