Trigonometra

Trigonometría

Introducción

Introducción
• En el siglo III a.C. los griegos, estudiando las relaciones
entre los ángulos y los lados de un triángulo, dieron
inicio a una nueva rama de la matemática llamada
Trigonometría y que significa medida del triángulo. Esta
ciencia tuvo un notable éxito por sus aplicaciones
directas a la astronomía, navegación y agrimensura.
• Los seis elementosprincipales en todo triángulo son sus
tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres
de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos
sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el
triángulo, es decir, a encontrar los tres elementos.

Teorema de Pitágoras
•

“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
c
catetos.”

Demostración:El área del cuadrado grande es: (a+b)2 y el del
pequeño, c2.
Por otra parte el área del cuadrado pequeño más 4
veces el área de un triángulo, será el área del a
cuadrado grande.
c2+4(ab)/2=(a+b)2 → c2+2ab=a2+2ab+b2
b
Finalmente:
c
a2+b2=c2

b

a

b
c

a
c

c
a

b

Razones Trigonométricas
•

Consideremos el triángulo rectángulo. Las
razones trigonométricas del ángulo B son:

a

B

C

b

c

A

Cadarelación tiene su recíproco dados por:

• Ejemplo: Una escalera de 5 metros de largo está colocada
con su pie a 3 metros de distancia de la pared de una casa
y llega precisamente hasta la base de una ventana.
Hállense la altura de la base de la ventana y el seno y la
tangente del ángulo que la escalera forma con la pared.

Para despejar la incógnita usamos el Teorema de
Pitágoras:


5

x

3Recordando la definición de seno y tangente, tenemos:

Medida de Ángulo
Para medir ángulos primero debemos escoger alguna unidad fija, y
para ello se definen tres sistemas de medida angular.
• Sistema Sexagesimal: En este sistema el ángulo recto se divide en
90 partes iguales o 90 grados; cada grado se divide en 60 minutos y
cada minuto en 60 segundos.
• Sistema Centesimal: En este sistema elángulo recto se divide en
100 partes iguales o 100 grados centesimales; cada grado se divide
en 100 minutos centesimales y cada minuto en 100 segundos
centesimales.
• Sistema Circular: En este sistema los ángulos se expresan en
radianes y es muy útil para calcular medidas de arcos, o en física,
para calcular velocidades angulares.

El radián
• El radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el
radiocon que fue descrito. Es decir el arco AB es igual
a la recta OA.
• Para expresar un ángulo en radianes basta calcular
las veces que el radio cabe en el arco que comprende
entre sus lados.
Designando el arco por b se obtiene:
B

r

B


O



b
r

O
A

r

A

El Círculo Unitario
• Es un círculo de radio unitario.
• En cualquier círculo, 360º equivalen a 2 (radianes).
Podemos dividir el círculoen 4 cuadrantes
/2

II

I



0
III

Como 360º=2, la longitud del
arco máximo en el círculo
unitario, se tiene

IV

3/2

xrad es la medida en radianes de un
ángulo x con 0≤ x ≤ 360


-1

tangente

Las principales relaciones
trigonométricas en el círculo
unitario.

seno

1
coseno
-1

 en
cuad.

II

III

IV

sen 

+ +

-

-

cos 

+

-

+

tan ¿qué

Recordando la definición de paridad,
+paridad
- +
poseen el coseno y el seno?

-

El signo de las funciones
trigonométricas en cada
cuadrante.

I

-

Ángulos Recurrentes
º
rad
sin 
cos 

30º

45º

60º

90º

180º

/6

/4

/3

/2



270º
3/2

360º
2

Buen truco
0º

30º

45º

60º

90º

√

0

1

2

3

4

√

4

3

2

1

0

sen

cos

2

Gráficos
Seno

Coseno

Tangente

Co-Tangente

Secante

Co-secante


IdentidadesTrigonométricas
• A partir del triángulo demuestre que:
C


Escribamos el seno y el coseno
a

b

c

A



Por teorema de Pitágoras:

B

Suma de Ángulos
• Probemos la siguiente relación:
sin(+) = sin()cos()+cos()sin()

C


A partir de la figura tenemos:

D

O




A

B

E

• Probemos ahora:
cos(+)=cos()cos()-sin()sin()
Haciendo un procedimiento análogo al anterior:

Exprese como suma...