Trigonometria 1

APM

INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA. ÍNDICE

• Historia de la Trigonometría.
•Grados sexagesimales y radianes.
• Seno de un ángulo agudo.
• Coseno de un ángulo agudo.
• Tangente de un ángulo agudo.
• Ampliación del concepto de ángulo.
• Relaciones entre las razones trigonométricas.
• Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
• Signos de las razones trigonométricas en los distintoscuadrantes.
• Razones trigonométricas de ángulos suplementarios.
• Razones trigonométricas de ángulos que difieren en 180º.
• Razones trigonométricas de ángulos opuestos.
• Razones trigonométricas de ángulos complementarios.
• Razones trigonométricas de 0º.
• Razones trigonométricas de 90º.
• Razones trigonométricas de 180º.
• Razones trigonométricas de 270º.
• Resolución de triángulos rectángulos.
•Ejemplo de resolución de triángulo rectángulo.
• Resolución de triángulos no rectángulos. Ejemplo.
• Funciones trigonométricas. Función seno.
• Función coseno.
• Función tangente.

HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA

La Trigonometría es la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de
las relaciones que existen entre los ángulos y los lados de un triángulo. Estas
relaciones se aplican pararesolver muchas situaciones de la vida cotidiana.
La Trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es
“la medición de los triángulos”.
Se deriva del vocablo griego:
τριγωνο “triángulo” + μετρον “medida”.

Si quieres saber más sobre la historia y aparición de la Trigonometría, puedes
acceder a la presentación titulada: HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA.

GRADOSSEXAGESIMALES Y RADIANES
La longitud de una circunferencia es de 2πR Tomando como unidad de medida
el radio o lo que es lo mismo, Radio = 1, un arco completo de circunferencia
mide 2π radios. Por tanto:
90º =π /2 rad

0º

180º =π rad

• 1 radián = 180º/π = 57º 17' 44,81''
• N grados = Nπ/ 180 radianes
• n radianes = 180n / πgrados

360º =2π rad

270º = 3π/2 rad

SENO DE UN ÁNGULO AGUDO

• Sila hipotenusa mide 1, la medida del cateto
opuesto al ángulo B, se llama “seno de B”.
• Se simboliza sen B.

Por semejanza de triángulos se tiene que:
sen B b
b
  sen B 
1
c
c

• El seno de un ángulo B es igual al cateto
opuesto dividido por la hipotenusa.

COSENO DE UN ÁNGULO AGUDO

• Si la hipotenusa mide 1, la medida del cateto
contiguo al ángulo B, se llama “coseno de B”.
• Se simboliza cosB.

Por semejanza de triángulos se tiene que:
cosB a
a
= . Luego : cosB =
1
c
c

• El coseno de un ángulo B es igual al cateto
contiguo dividido por la hipotenusa.

TANGENTE DE UN ÁNGULO AGUDO
Como ABC y SBT son semejantes:
TS sen B
sen B

 TS 
1 cos B
cos B

• Si la hipotenusa mide 1, la medida segmento
ST, se llama “tangente de B”.
• Se simboliza tan B.

Por semejanza de triángulos se tieneque:
tan B b
b
  tan B 
1
a
a

• La tangente de un ángulo B es igual al
cateto opuesto dividido por el cateto
contiguo.

AMPLIACIÓN DEL CONCEPTO ÁNGULO

n
Se
tid
op
Sen
t
i
d
o

= –105º

o
tiv
osi

= 405º

Ángulo reducido de un
ángulo es el ángulo
menor que 360º definido
por su misma posición

El ángulo reducido de 405º
es el de 45º

n
ega
t
i
v
o

Origen de
medida de
ángulos

RELACIONESENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Aplicando el Teorema de Pitágoras:
(sen α )2 + (cos α)2 = sen2 α + cos2 α = 1

tg α =

sen α
cos α

Dividiendo en la relación anterior por cos2 
sen 2 α + cos 2 α
1
=
cos 2 α
cos 2 α
cos 2  sen 2
1
+

cos 2  cos 2  cos 2 

sen 2 α cos 2 α
1
+
=
cos 2 α cos 2 α cos 2 α

1
cos 2 

1 + tan 2  

RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

2
Dividiendopor sen  tenemos:

sen   cos   1
2

2

sen 2  cos 2 
1
sen 2

cos 2 
1
1

sen 2 sen 2

cos 2 
1
1

sen 2 sen 2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA

r

y r

y

x
sen α =

y
r

cos α =

x
r

tg α =



x
y

r



x

y
x


x
y
r

.
Cos α

I

II
(- ,+)

(+,+)

0º

180º = π rad

360º = 2π rad

III

(-,-)

(+,-)

IV
α

Cos α

Cos
r α

270º =3π /2 rad

Signos del...

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