trigonomtria


UNIDAD 6

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS




6.2 Identidades Trigonométricas Fundamentales
Del triángulo mostrado, se puede deducir:

a) IDENTIDADES RECIPROCAS


(1)


(2)


(3)


b) IDENTIDADES POR COCIENTE

Utilizando el gráfico anterior:
(4)
(5)

c) IDENTIDADES PITAGÓRICAS:Aplicando el teorema de PITÁGORAS en la figura anterior, se obtiene:
(6)
Dividiendo entre: la identidad , obtenemos:
usando las identidades (4) y (2): (7)
Del mismo modo, usando las identidades (6), (5) y (1) (8)

6.3 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES.
Las identidades trigonométricas auxiliares más importantes son:(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)

6.4 Demostraciones de Identidades Trigonométricas.
Para demostrar identidades trigonométricas no hay una técnica ni un procedimiento especial. Las siguientes sugerencias ayudan a realizar dichas demostraciones.
1.- Demostrar que un miembro de la igualdaddada es igual al otro.
2.- Escoger el miembro más complicado de la identidad.
3.- Colocar el miembro escogido en términos de senos y cosenos.
4.- Hacer uso de las identidades algebraicas. Entre las identidades más importantes tenemos:










5.- Si hubiera productos indicados, desarrollar y simplificar.
6.- De las identidades trigonométricas fundamentales se pueden deducirotras
Así:

EJEMPLOS:
1.- Demostrar:
Consideremos el lado izquierdo de la identidad:
Usando la identidad :
Efectuando operaciones se tendrá:
Empleando la identidad :
Finalmente de :

2.- Demostrar:
Trabajando con
Utilizando las identidades y :
Sumando las fracciones:Utilizando la identidad , tendremos:
Propiedad: :
Usando las identidades recíprocas:

3.- Demostrar:

6.5 Simplificaciones.
Con la ayuda de las identidades trigonométricas estudiadas podemos reducir al máximo expresiones trigonométricas que contengan diversos grados de dificultad.
EJEMPLOS:
1.- Simplificar:
Solución:
Colocando la expresión en términos de senosy cosenos:

al simplificar: "" queda:



2.- Reducir:
Solución:
Utilizando la Identidad de Legendre:



3.- Simplificar:










6.6 Aplicaciones.
a) Simplificar:
Solución:
Expresando en términos de senos y cosenos:


Luego de reemplazar las identidades correspondientes, se obtiene:

Finalmente:
b) Reducir:
Solución:
Usando las identidadesfundamentales, obtenemos:

Efectuando:
Finalmente:

c) A qué es igual:
Solución:
Utilizando las identidades auxiliares y , se obtiene:

luego, efectuando operaciones:

finalmente:

d) Simplificar:
Solución:
Desarrollando las identidades algebraicas en el numerador:

luego de simplificar y usar la identidad auxiliar , se tiene:

finalmente:

e) Simplificar:
Solución:
Utilizandola identidad auxiliar :

Luego utilizamos la identidad , se tiene

Finalmente:

1.- Debe demostrar cada ejercicio:
A.
B.
C.
D.
E.

2.- Debe demostrar cada ejercicio:
A.
B.
C.
D.
E.

3.- Debe demostrar cada ejercicio:
A.
B.
C.
D.
E.

4.- Debe demostrar cada ejercicio:
A.
B.
C.
D.
E.

5.- Simplificar:
a) 1 b) c)
d) 0e) –1

6.- Reducir:
a) 0 b) c)
d) e)

7.- Simplificar:
a) 0 b) c) –1
d) 2 e)
8.- Reducir:

a) b) c)
d) e)

9.- A que es igual:

a) 0 b) 0,5 c) 1
d) 1,5 e) 2

10.- Simplificar:

a) b) c)
d) e)

11.- Reducir:

a) b)...